R CHMfactor-class 稀疏 Cholesky 分解

R语言 CHMfactor-class 位于 Matrix 包(package)。

说明

CHMfactor 是 n \times n 实对称矩阵 A 的稀疏 Cholesky 分解的虚拟类，具有一般形式

或(等效地)

其中 P_1 是置换矩阵，L_1 是单位下三角矩阵，D 是对角矩阵，L = L_1 \sqrt{D} 。第二个等式仅适用于正半定 A ，其中 D 的对角线条目是非负的，并且 \sqrt{D} 是明确定义的。

类的实现CHMfactor基于 CHOLMOD 的C-levelcholmod_factor_struct。虚拟子类CHMsimpl和CHMsuper分离单纯形和超节点变体。这些有非虚拟子类[dn]CHMsimpl和[dn]CHMsuper，其中前缀‘⁠d⁠' 和前缀 '⁠n⁠' 分别保留用于数字和符号分解。

用法

isLDL(x)

参数

`x`	从虚拟类 `CHMfactor` 继承的对象，几乎总是调用泛型函数 `Cholesky` 的结果。

值

isLDL(x) 返回 TRUE 或 FALSE ：TRUE(如果 x 存储 L_1-I+D 的下三角条目)、FALSE(如果 x 存储 L 的下三角条目) 。

插槽

CHMfactor 的：

Dim , Dimnames: 从虚拟类MatrixFactorization继承。
colcount: 长度为 Dim[1] 的整数向量，给出下三角 Cholesky 因子每列中非零条目数量的估计。如果在因式分解之前进行符号分析，则估计是准确的。
perm: 长度为 Dim[1] 的从 0 开始的整数向量，指定应用于因式分解矩阵的行和列的排列。长度为 0 的 perm 是有效的，相当于恒等排列，意味着没有旋转。
type: 长度为 6 的整数向量，指定分解的细节。这些元素对应于原始 cholmod_factor_struct 的成员 ordering 、 is_ll 、 is_super 、 is_monotonic 、 maxcsize 和 maxesize 。单纯分解和超节点分解通过 is_super 来区分。单纯因式分解不使用 maxcsize 或 maxesize 。超节点分解不使用 is_ll 或 is_monotonic 。

CHMsimpl 的(全部被 nCHMsimpl 未使用)：

nz: 长度为 Dim[1] 的整数向量，给出下三角 Cholesky 因子每列中非零条目的数量。每列中至少有一个非零条目，因为因子的对角线元素是显式存储的。
p: 长度为 Dim[1]+1 的整数向量。下三角 Cholesky 因子的列 j 中非零条目的行索引作为 i[p[j]+seq_len(nz[j])]+1 获得。
i: 长度大于或等于 sum(nz) 的整数向量，包含下三角 Cholesky 因子中非零条目的行索引。它们按列分组并在列内排序，但列本身不需要单调排序。列可能被过度分配，即，为列j保留的i的元素数量可能超过nz[j]。
prv , nxt: 长度为 Dim[1]+2 的整数向量指示下三角 Cholesky 因子的列存储在 i 和 x 中的顺序。从 j <- Dim[1]+2 开始，递归 j <- nxt[j+1]+1 向前顺序遍历列，并在 nxt[j+1] = -1 时终止。从 j <- Dim[1]+1 开始，递归 j <- prv[j+1]+1 按向后顺序遍历列，并在 prv[j+1] = -1 时终止。

dCHMsimpl 的：

x: 与 i 平行的数值向量，包含下三角 Cholesky 因子 L 或(当且仅当 type[2] 为 0)下三角矩阵 L_1-I+D 的相应非零条目。

CHMsuper 的：

super , pi , px: 长度为 nsuper+1 的整数向量，其中 nsuper 是超级节点的数量。 super[j]+1 是超级节点j 最左列的索引。超级节点j的行索引被获取为s[pi[j]+seq_len(pi[j+1]-pi[j])]+1。超级节点j的数字条目作为x[px[j]+seq_len(px[j+1]-px[j])]+1获得(如果槽x可用)。
s: 长度大于或等于 Dim[1] 的整数向量，包含超级节点的行索引。 s 可能包含重复项，但不能在超级节点内，其中行索引必须递增。

dCHMsuper 的：

x: 长度小于或等于 prod(Dim) 的数值向量，包含超级节点的数值条目。

扩展

直接类 MatrixFactorization 。

实例化

对象可以通过 new("dCHMsimpl", ...) 等形式的调用直接生成，但 dCHMsimpl 和 dCHMsuper 更通常作为从 sparseMatrix 继承的 x 的 Cholesky(x, ...) 的值获得(通常是 dsCMatrix )。

目前除了调用 new 来生成 nCHMsimpl 和 nCHMsuper 之外，没有其他 API。这些类是残留的，可能会在 Matrix 的未来版本中正式弃用。

方法

coerce: signature(from = "CHMsimpl", to = "dtCMatrix") ：返回表示下三角 Cholesky 因子 L 或下三角矩阵 L_1-I+D 的 dtCMatrix，后者当且仅当 from@type[2] 为 0 时。
coerce: signature(from = "CHMsuper", to = "dgCMatrix") ：返回表示下三角 Cholesky 因子 L 的 dgCMatrix 。请注意，对于跨越两列或更多列的超级节点，超节点算法按设计将非结构零存储在主对角线上方，因此 dgCMatrix 确实比 dtCMatrix 作为强制目标更合适。
determinant: signature(from = "CHMfactor", logarithm = "logical") ：根据可选参数 sqrt 进行行为。如果 sqrt = FALSE ，则此方法计算因式分解矩阵 A 的行列式或其对数。如果 sqrt = TRUE ，则此方法计算因子 L = L_1 sqrt(D) 或其对数的行列式，当 D 具有负对角线元素时，给出 NaN 的模数。为了向后兼容， sqrt 的默认值是 TRUE ，但是在 Matrix 的未来版本中预计会发生变化，因此防御代码将始终设置 sqrt (如果代码必须设置为 TRUE )保持向后兼容 Matrix < 1.6-0 )。调用此方法而不设置 sqrt 可能会警告有关待处理的更改。可以使用 options(Matrix.warnSqrtDefault = 0) 禁用警告。
diag: signature(x = "CHMfactor") ：返回长度为 n 的数值向量，其中包含 D 的对角线元素，其中(如果它们均为非负)是 L 的平方对角线元素。
expand: signature(x = "CHMfactor") ：参见expand-methods 。
expand1: signature(x = "CHMsimpl") ：参见expand1-methods 。
expand1: signature(x = "CHMsuper") ：参见expand1-methods 。
expand2: signature(x = "CHMsimpl") ：参见expand2-methods 。
expand2: signature(x = "CHMsuper") ：参见expand2-methods 。
image: signature(x = "CHMfactor") ：参见image-methods 。
nnzero: signature(x = "CHMfactor") ：参见nnzero-methods 。
solve: signature(a = "CHMfactor", b = .) ：参见solve-methods 。
update: signature(object = "CHMfactor"): 返回一个副本object具有相同的非零模式，但数字条目根据附加参数进行更新parent和mult，其中parent是(强制)adsCMatrix或一个dgCMatrix和mult是正长度的数值向量。
数字条目更新为 Cholesky 因子的条目F(parent) + mult[1] * I， IE。，F(parent)加mult[1]乘以单位矩阵，其中F = identity对于对称的parent和F = tcrossprod对于他人parent。非零模式F(parent)必须匹配S如果object = Cholesky(S, ...).
updown: signature(update = ., C = ., object = "CHMfactor") ：参见updown-methods 。

例子


showClass("dCHMsimpl")
showClass("dCHMsuper")
set.seed(2)

m <- 1000L
n <- 200L
M <- rsparsematrix(m, n, 0.01)
A <- crossprod(M)

## With dimnames, to see that they are propagated :
dimnames(A) <- dn <- rep.int(list(paste0("x", seq_len(n))), 2L)

(ch.A <- Cholesky(A)) # pivoted, by default
str(e.ch.A <- expand2(ch.A, LDL =  TRUE), max.level = 2L)
str(E.ch.A <- expand2(ch.A, LDL = FALSE), max.level = 2L)

ae1 <- function(a, b, ...) all.equal(as(a, "matrix"), as(b, "matrix"), ...)
ae2 <- function(a, b, ...) ae1(unname(a), unname(b), ...)

## A ~ P1' L1 D L1' P1 ~ P1' L L' P1 in floating point
stopifnot(exprs = {
    identical(names(e.ch.A), c("P1.", "L1", "D", "L1.", "P1"))
    identical(names(E.ch.A), c("P1.", "L" ,      "L." , "P1"))
    identical(e.ch.A[["P1"]],
              new("pMatrix", Dim = c(n, n), Dimnames = c(list(NULL), dn[2L]),
                  margin = 2L, perm = invertPerm(ch.A@perm, 0L, 1L)))
    identical(e.ch.A[["P1."]], t(e.ch.A[["P1"]]))
    identical(e.ch.A[["L1."]], t(e.ch.A[["L1"]]))
    identical(E.ch.A[["L." ]], t(E.ch.A[["L" ]]))
    identical(e.ch.A[["D"]], Diagonal(x = diag(ch.A)))
    all.equal(E.ch.A[["L"]], with(e.ch.A, L1 %*% sqrt(D)))
    ae1(A, with(e.ch.A, P1. %*% L1 %*% D %*% L1. %*% P1))
    ae1(A, with(E.ch.A, P1. %*% L  %*%         L.  %*% P1))
    ae2(A[ch.A@perm + 1L, ch.A@perm + 1L], with(e.ch.A, L1 %*% D %*% L1.))
    ae2(A[ch.A@perm + 1L, ch.A@perm + 1L], with(E.ch.A, L  %*%         L. ))
})

## Factorization handled as factorized matrix
## (in some cases only optionally, depending on arguments)
b <- rnorm(n)
stopifnot(identical(det(A), det(ch.A, sqrt = FALSE)),
          identical(solve(A, b), solve(ch.A, b, system = "A")))

u1 <- update(ch.A,   A , mult = sqrt(2))
u2 <- update(ch.A, t(M), mult = sqrt(2)) # updating with crossprod(M), not M
stopifnot(all.equal(u1, u2, tolerance = 1e-14))

参考

The CHOLMOD source code; see https://github.com/DrTimothyAldenDavis/SuiteSparse, notably the header file ‘CHOLMOD/Include/cholmod.h’ defining cholmod_factor_struct.

Chen, Y., Davis, T. A., Hager, W. W., & Rajamanickam, S. (2008). Algorithm 887: CHOLMOD, supernodal sparse Cholesky factorization and update/downdate. ACM Transactions on Mathematical Software, 35(3), Article 22, 1-14. doi:10.1145/1391989.1391995

Amestoy, P. R., Davis, T. A., & Duff, I. S. (2004). Algorithm 837: AMD, an approximate minimum degree ordering algorithm. ACM Transactions on Mathematical Software, 17(4), 886-905. doi:10.1145/1024074.1024081

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. doi:10.56021/9781421407944

也可以看看

类dsCMatrix。

通用函数 Cholesky 、 updown 、 expand1 和 expand2 。

相关用法

注：本文由纯净天空筛选整理自R-devel大神的英文原创作品 Sparse Cholesky Factorizations。非经特殊声明，原始代码版权归原作者所有，本译文未经允许或授权，请勿转载或复制。