R CHMfactor-class 稀疏 Cholesky 分解

R語言 CHMfactor-class 位於 Matrix 包(package)。

說明

CHMfactor 是 n \times n 實對稱矩陣 A 的稀疏 Cholesky 分解的虛擬類，具有一般形式

或(等效地)

其中 P_1 是置換矩陣，L_1 是單位下三角矩陣，D 是對角矩陣，L = L_1 \sqrt{D} 。第二個等式僅適用於正半定 A ，其中 D 的對角線條目是非負的，並且 \sqrt{D} 是明確定義的。

類的實現CHMfactor基於 CHOLMOD 的C-levelcholmod_factor_struct。虛擬子類CHMsimpl和CHMsuper分離單純形和超節點變體。這些有非虛擬子類[dn]CHMsimpl和[dn]CHMsuper，其中前綴‘⁠d⁠' 和前綴 '⁠n⁠' 分別保留用於數字和符號分解。

用法

isLDL(x)

參數

`x`	從虛擬類 `CHMfactor` 繼承的對象，幾乎總是調用泛型函數 `Cholesky` 的結果。

值

isLDL(x) 返回 TRUE 或 FALSE ：TRUE(如果 x 存儲 L_1-I+D 的下三角條目)、FALSE(如果 x 存儲 L 的下三角條目) 。

插槽

CHMfactor 的：

Dim , Dimnames: 從虛擬類MatrixFactorization繼承。
colcount: 長度為 Dim[1] 的整數向量，給出下三角 Cholesky 因子每列中非零條目數量的估計。如果在因式分解之前進行符號分析，則估計是準確的。
perm: 長度為 Dim[1] 的從 0 開始的整數向量，指定應用於因式分解矩陣的行和列的排列。長度為 0 的 perm 是有效的，相當於恒等排列，意味著沒有旋轉。
type: 長度為 6 的整數向量，指定分解的細節。這些元素對應於原始 cholmod_factor_struct 的成員 ordering 、 is_ll 、 is_super 、 is_monotonic 、 maxcsize 和 maxesize 。單純分解和超節點分解通過 is_super 來區分。單純因式分解不使用 maxcsize 或 maxesize 。超節點分解不使用 is_ll 或 is_monotonic 。

CHMsimpl 的(全部被 nCHMsimpl 未使用)：

nz: 長度為 Dim[1] 的整數向量，給出下三角 Cholesky 因子每列中非零條目的數量。每列中至少有一個非零條目，因為因子的對角線元素是顯式存儲的。
p: 長度為 Dim[1]+1 的整數向量。下三角 Cholesky 因子的列 j 中非零條目的行索引作為 i[p[j]+seq_len(nz[j])]+1 獲得。
i: 長度大於或等於 sum(nz) 的整數向量，包含下三角 Cholesky 因子中非零條目的行索引。它們按列分組並在列內排序，但列本身不需要單調排序。列可能被過度分配，即，為列j保留的i的元素數量可能超過nz[j]。
prv , nxt: 長度為 Dim[1]+2 的整數向量指示下三角 Cholesky 因子的列存儲在 i 和 x 中的順序。從 j <- Dim[1]+2 開始，遞歸 j <- nxt[j+1]+1 向前順序遍曆列，並在 nxt[j+1] = -1 時終止。從 j <- Dim[1]+1 開始，遞歸 j <- prv[j+1]+1 按向後順序遍曆列，並在 prv[j+1] = -1 時終止。

dCHMsimpl 的：

x: 與 i 平行的數值向量，包含下三角 Cholesky 因子 L 或(當且僅當 type[2] 為 0)下三角矩陣 L_1-I+D 的相應非零條目。

CHMsuper 的：

super , pi , px: 長度為 nsuper+1 的整數向量，其中 nsuper 是超級節點的數量。 super[j]+1 是超級節點j 最左列的索引。超級節點j的行索引被獲取為s[pi[j]+seq_len(pi[j+1]-pi[j])]+1。超級節點j的數字條目作為x[px[j]+seq_len(px[j+1]-px[j])]+1獲得(如果槽x可用)。
s: 長度大於或等於 Dim[1] 的整數向量，包含超級節點的行索引。 s 可能包含重複項，但不能在超級節點內，其中行索引必須遞增。

dCHMsuper 的：

x: 長度小於或等於 prod(Dim) 的數值向量，包含超級節點的數值條目。

擴展

直接類 MatrixFactorization 。

實例化

對象可以通過 new("dCHMsimpl", ...) 等形式的調用直接生成，但 dCHMsimpl 和 dCHMsuper 更通常作為從 sparseMatrix 繼承的 x 的 Cholesky(x, ...) 的值獲得(通常是 dsCMatrix )。

目前除了調用 new 來生成 nCHMsimpl 和 nCHMsuper 之外，沒有其他 API。這些類是殘留的，可能會在 Matrix 的未來版本中正式棄用。

方法

coerce: signature(from = "CHMsimpl", to = "dtCMatrix") ：返回表示下三角 Cholesky 因子 L 或下三角矩陣 L_1-I+D 的 dtCMatrix，後者當且僅當 from@type[2] 為 0 時。
coerce: signature(from = "CHMsuper", to = "dgCMatrix") ：返回表示下三角 Cholesky 因子 L 的 dgCMatrix 。請注意，對於跨越兩列或更多列的超級節點，超節點算法按設計將非結構零存儲在主對角線上方，因此 dgCMatrix 確實比 dtCMatrix 作為強製目標更合適。
determinant: signature(from = "CHMfactor", logarithm = "logical") ：根據可選參數 sqrt 進行行為。如果 sqrt = FALSE ，則此方法計算因式分解矩陣 A 的行列式或其對數。如果 sqrt = TRUE ，則此方法計算因子 L = L_1 sqrt(D) 或其對數的行列式，當 D 具有負對角線元素時，給出 NaN 的模數。為了向後兼容， sqrt 的默認值是 TRUE ，但是在 Matrix 的未來版本中預計會發生變化，因此防禦代碼將始終設置 sqrt (如果代碼必須設置為 TRUE )保持向後兼容 Matrix < 1.6-0 )。調用此方法而不設置 sqrt 可能會警告有關待處理的更改。可以使用 options(Matrix.warnSqrtDefault = 0) 禁用警告。
diag: signature(x = "CHMfactor") ：返回長度為 n 的數值向量，其中包含 D 的對角線元素，其中(如果它們均為非負)是 L 的平方對角線元素。
expand: signature(x = "CHMfactor") ：參見expand-methods 。
expand1: signature(x = "CHMsimpl") ：參見expand1-methods 。
expand1: signature(x = "CHMsuper") ：參見expand1-methods 。
expand2: signature(x = "CHMsimpl") ：參見expand2-methods 。
expand2: signature(x = "CHMsuper") ：參見expand2-methods 。
image: signature(x = "CHMfactor") ：參見image-methods 。
nnzero: signature(x = "CHMfactor") ：參見nnzero-methods 。
solve: signature(a = "CHMfactor", b = .) ：參見solve-methods 。
update: signature(object = "CHMfactor"): 返回一個副本object具有相同的非零模式，但數字條目根據附加參數進行更新parent和mult，其中parent是(強製)adsCMatrix或一個dgCMatrix和mult是正長度的數值向量。
數字條目更新為 Cholesky 因子的條目F(parent) + mult[1] * I， IE。，F(parent)加mult[1]乘以單位矩陣，其中F = identity對於對稱的parent和F = tcrossprod對於他人parent。非零模式F(parent)必須匹配S如果object = Cholesky(S, ...).
updown: signature(update = ., C = ., object = "CHMfactor") ：參見updown-methods 。

例子


showClass("dCHMsimpl")
showClass("dCHMsuper")
set.seed(2)

m <- 1000L
n <- 200L
M <- rsparsematrix(m, n, 0.01)
A <- crossprod(M)

## With dimnames, to see that they are propagated :
dimnames(A) <- dn <- rep.int(list(paste0("x", seq_len(n))), 2L)

(ch.A <- Cholesky(A)) # pivoted, by default
str(e.ch.A <- expand2(ch.A, LDL =  TRUE), max.level = 2L)
str(E.ch.A <- expand2(ch.A, LDL = FALSE), max.level = 2L)

ae1 <- function(a, b, ...) all.equal(as(a, "matrix"), as(b, "matrix"), ...)
ae2 <- function(a, b, ...) ae1(unname(a), unname(b), ...)

## A ~ P1' L1 D L1' P1 ~ P1' L L' P1 in floating point
stopifnot(exprs = {
    identical(names(e.ch.A), c("P1.", "L1", "D", "L1.", "P1"))
    identical(names(E.ch.A), c("P1.", "L" ,      "L." , "P1"))
    identical(e.ch.A[["P1"]],
              new("pMatrix", Dim = c(n, n), Dimnames = c(list(NULL), dn[2L]),
                  margin = 2L, perm = invertPerm(ch.A@perm, 0L, 1L)))
    identical(e.ch.A[["P1."]], t(e.ch.A[["P1"]]))
    identical(e.ch.A[["L1."]], t(e.ch.A[["L1"]]))
    identical(E.ch.A[["L." ]], t(E.ch.A[["L" ]]))
    identical(e.ch.A[["D"]], Diagonal(x = diag(ch.A)))
    all.equal(E.ch.A[["L"]], with(e.ch.A, L1 %*% sqrt(D)))
    ae1(A, with(e.ch.A, P1. %*% L1 %*% D %*% L1. %*% P1))
    ae1(A, with(E.ch.A, P1. %*% L  %*%         L.  %*% P1))
    ae2(A[ch.A@perm + 1L, ch.A@perm + 1L], with(e.ch.A, L1 %*% D %*% L1.))
    ae2(A[ch.A@perm + 1L, ch.A@perm + 1L], with(E.ch.A, L  %*%         L. ))
})

## Factorization handled as factorized matrix
## (in some cases only optionally, depending on arguments)
b <- rnorm(n)
stopifnot(identical(det(A), det(ch.A, sqrt = FALSE)),
          identical(solve(A, b), solve(ch.A, b, system = "A")))

u1 <- update(ch.A,   A , mult = sqrt(2))
u2 <- update(ch.A, t(M), mult = sqrt(2)) # updating with crossprod(M), not M
stopifnot(all.equal(u1, u2, tolerance = 1e-14))

參考

The CHOLMOD source code; see https://github.com/DrTimothyAldenDavis/SuiteSparse, notably the header file ‘CHOLMOD/Include/cholmod.h’ defining cholmod_factor_struct.

Chen, Y., Davis, T. A., Hager, W. W., & Rajamanickam, S. (2008). Algorithm 887: CHOLMOD, supernodal sparse Cholesky factorization and update/downdate. ACM Transactions on Mathematical Software, 35(3), Article 22, 1-14. doi:10.1145/1391989.1391995

Amestoy, P. R., Davis, T. A., & Duff, I. S. (2004). Algorithm 837: AMD, an approximate minimum degree ordering algorithm. ACM Transactions on Mathematical Software, 17(4), 886-905. doi:10.1145/1024074.1024081

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. doi:10.56021/9781421407944

也可以看看

類dsCMatrix。

通用函數 Cholesky 、 updown 、 expand1 和 expand2 。

相關用法

注：本文由純淨天空篩選整理自R-devel大神的英文原創作品 Sparse Cholesky Factorizations。非經特殊聲明，原始代碼版權歸原作者所有，本譯文未經允許或授權，請勿轉載或複製。