R Schur-methods Schur 分解方法

說明

計算 n \times n 實數矩陣 A 的 Schur 分解，其具有一般形式

其中 Q 是正交矩陣，T 是塊上三角矩陣，其中 1 \times 1 和 2 \times 2 對角塊指定 A 的實數和複數共軛特征值。 Q 的列向量是 A 的 Schur 向量，T 是 A 的 Schur 形式。

方法基於 LAPACK 例程 dgees 構建。

用法

Schur(x, vectors = TRUE, ...)

參數

x	要因式分解的 finite 方陣或 Matrix。
vectors	一個合乎邏輯的。如果TRUE(默認值)，則除了 Schur 形式之外還計算 Schur 向量。
...	傳入或傳出方法的更多參數。

值

表示分解的對象，如果 vectors = TRUE 則繼承自虛擬類 SchurFactorization 。目前，在這種情況下，特定類始終是Schur。例外情況是 x 是傳統矩陣，在這種情況下，結果是包含 Schur 對象的 Q 、 T 和 EValues 槽的命名列表。

如果 vectors = FALSE ，則結果是相同的命名列表，但沒有 Q 。

例子

showMethods("Schur", inherited = FALSE)
set.seed(0)

Schur(Hilbert(9L)) # real eigenvalues

(A <- Matrix(round(rnorm(25L, sd = 100)), 5L, 5L))
(sch.A <- Schur(A)) # complex eigenvalues

## A ~ Q T Q' in floating point
str(e.sch.A <- expand2(sch.A), max.level = 2L)
stopifnot(all.equal(A, Reduce(`%*%`, e.sch.A)))

(e1 <- eigen(sch.A@T, only.values = TRUE)$values)
(e2 <- eigen(    A  , only.values = TRUE)$values)
(e3 <- sch.A@EValues)

stopifnot(exprs = {
    all.equal(e1, e2, tolerance = 1e-13)
    all.equal(e1, e3[order(Mod(e3), decreasing = TRUE)], tolerance = 1e-13) 
    identical(Schur(A, vectors = FALSE),
              list(T = sch.A@T, EValues = e3))    
    identical(Schur(as(A, "matrix")),
              list(Q = as(sch.A@Q, "matrix"),
                   T = as(sch.A@T, "matrix"), EValues = e3))
})

參考

The LAPACK source code, including documentation; see https://netlib.org/lapack/double/dgees.f.

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. doi:10.56021/9781421407944

也可以看看

類Schur 及其方法。

類dgeMatrix。

通用函數 expand1 和 expand2 ，用於根據結果構造矩陣因子。

通用函數 Cholesky 、 BunchKaufman 、 lu 和 qr 用於計算其他因式分解。