R Schur-class 舒尔因式分解

说明

Schur 是 n \times n 实数矩阵 A 的 Schur 分解类，具有一般形式

其中 Q 是正交矩阵，T 是块上三角矩阵，其中 1 \times 1 或 2 \times 2 对角块指定 A 的实数和复数共轭特征值。 Q 的列向量是 A 的 Schur 向量，T 是 A 的 Schur 形式。

Schur 分解将普通矩阵 A(其 Schur 形式为块对角线)的谱分解推广为任意方阵。

细节

矩阵A 及其Schur 形式T 相似，因此具有相同的频谱。特征值被简单地计算为 T 的对角线块的特征值。

插槽

Dim , Dimnames

从虚拟类MatrixFactorization继承。

Q

正交矩阵，继承自虚拟类 Matrix 。

T

块上三角矩阵，继承自虚拟类 Matrix 。对角块的尺寸为 1×1 或 2×2。

EValues

包含 T 对角线块的特征值的数值或复数向量，它们是 T 的特征值，因此也是分解矩阵的特征值。

扩展

直接类 SchurFactorization 。类 MatrixFactorization ，按类 SchurFactorization ，距离 2。

实例化

对象可以通过 new("Schur", ...) 形式的调用直接生成，但它们更通常作为继承自 Matrix (通常是 dgeMatrix )的 x 的 Schur(x) 值获得。

方法

determinant

signature(from = "Schur", logarithm = "logical") ：计算因式分解矩阵A 的行列式或其对数。

expand1

signature(x = "Schur") ：参见expand1-methods 。

expand2

signature(x = "Schur") ：参见expand2-methods 。

solve

signature(a = "Schur", b = .) ：参见solve-methods 。

例子

showClass("Schur")
set.seed(0)

n <- 4L
(A <- Matrix(rnorm(n * n), n, n))

## With dimnames, to see that they are propagated :
dimnames(A) <- list(paste0("r", seq_len(n)),
                    paste0("c", seq_len(n)))

(sch.A <- Schur(A))
str(e.sch.A <- expand2(sch.A), max.level = 2L)

## A ~ Q T Q' in floating point
stopifnot(exprs = {
    identical(names(e.sch.A), c("Q", "T", "Q."))
    all.equal(A, with(e.sch.A, Q %*% T %*% Q.))
})

## Factorization handled as factorized matrix
b <- rnorm(n)
stopifnot(all.equal(det(A), det(sch.A)),
          all.equal(solve(A, b), solve(sch.A, b)))

## One of the non-general cases:
Schur(Diagonal(6L))

参考

The LAPACK source code, including documentation; see https://netlib.org/lapack/double/dgees.f.

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. doi:10.56021/9781421407944

也可以看看

类dgeMatrix。

通用函数 Schur 、 expand1 和 expand2 。