Python numpy legendre.legfit用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 numpy.polynomial.legendre.legfit 的用法。

用法:

polynomial.legendre.legfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)

勒让德系列与数据的最小二乘拟合。

返回勒让德级数的系数度这是适合数据值的最小二乘y在点给出x.如果y是一维的，返回的系数也将是一维的。如果y是 2-D 多次拟合完成，每列一个y，并且得到的系数存储在二维返回的相应列中。拟合多项式的形式为

\[p(x) = c_0 + c_1 * L_1(x) + ... + c_n * L_n(x),\]

其中 n 是度数。

参数：

x： 数组, 形状 (M,)

M 个采样点的 x 坐标 (x[i], y[i]) 。

y： 数组, 形状 (M,) 或 (M, K)

样本点的 y 坐标。通过传入每列包含一个数据集的 2D-array，可以一次拟合多个共享相同 x 坐标的样本点数据集。

deg： int 或 1-D 数组

拟合多项式的次数。如果 deg 是单个整数，则所有直到并包括 deg'th 项的项都包含在拟合中。对于 NumPy 版本 >= 1.11.0，可以使用指定要包含的项的度数的整数列表来代替。

rcond： 浮点数，可选

拟合的相对条件数。相对于最大奇异值小于此的奇异值将被忽略。默认值为 len(x)*eps，其中 eps 是浮点类型的相对精度，大多数情况下约为 2e-16。

full： 布尔型，可选

开关确定返回值的性质。当它为 False(默认值)时，仅返回系数，当还返返回自奇异值分解的 True 诊断信息时。

w： 数组样，形状(M，)， 可选的

重量。如果不是 None，则权重 w[i] 适用于 x[i] 处的未平方残差 y[i] - y_hat[i]。理想情况下，选择权重以使产品w[i]*y[i] 的误差都具有相同的方差。使用 inverse-variance 加权时，请使用 w[i] = 1/sigma(y[i]) 。默认值为无。

返回：

coef： ndarray，形状(M，)或(M，K)

勒让德系数从低到高排序。如果 y 是二维的，则 y 的 k 列中数据的系数在 k 列中。如果将 deg 指定为列表，则未包含在拟合中的项的系数在返回的 coef 中设置为零。

[residuals, rank, singular_values, rcond]： 列表

这些值仅在 full == True 时返回

• 残差 - 最小二乘拟合的残差平方和

• rank - 缩放的 Vandermonde 矩阵的数值等级

• singular_values - 缩放范德蒙矩阵的奇异值

• rcond - rcond 的值。

有关详细信息，请参阅 numpy.linalg.lstsq 。

警告：

RankWarning

最小二乘拟合中系数矩阵的秩不足。仅当 full == False 时才会引发警告。可以通过以下方式关闭警告

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

注意：

解决方案是使加权平方误差之和最小化的勒让德级数 p 的系数

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

其中\(w_j\) 是权重。这个问题是通过建立(通常)超定矩阵方程来解决的

\[V(x) * c = w * y,\]

其中 V 是 x 的加权伪 Vandermonde 矩阵，c 是要求解的系数，w 是权重，y 是观测值。然后使用 V 的奇异值分解求解该方程。

如果某些奇异值V是如此之小以至于它们被忽略了，那么RankWarning将发出。这意味着可能很难确定系数值。使用低阶拟合通常会消除警告。这rcond参数也可以设置为小于其默认值的值，但结果拟合可能是虚假的并且有很大的舍入误差贡献。

使用勒让德级数的拟合通常比使用幂级数的拟合更好，但很大程度上取决于样本点的分布和数据的平滑度。如果配合质量不合适，样条曲线可能是一个不错的选择。

参考：

1：

维基百科，“Curve fitting”，https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting