Python numpy legendre.legfit用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 numpy.polynomial.legendre.legfit 的用法。

用法:

polynomial.legendre.legfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)

勒讓德係列與數據的最小二乘擬合。

返回勒讓德級數的係數度這是適合數據值的最小二乘y在點給出x.如果y是一維的，返回的係數也將是一維的。如果y是 2-D 多次擬合完成，每列一個y，並且得到的係數存儲在二維返回的相應列中。擬合多項式的形式為

\[p(x) = c_0 + c_1 * L_1(x) + ... + c_n * L_n(x),\]

其中 n 是度數。

參數：

x： 數組, 形狀 (M,)

M 個采樣點的 x 坐標 (x[i], y[i]) 。

y： 數組, 形狀 (M,) 或 (M, K)

樣本點的 y 坐標。通過傳入每列包含一個數據集的 2D-array，可以一次擬合多個共享相同 x 坐標的樣本點數據集。

deg： int 或 1-D 數組

擬合多項式的次數。如果 deg 是單個整數，則所有直到並包括 deg'th 項的項都包含在擬合中。對於 NumPy 版本 >= 1.11.0，可以使用指定要包含的項的度數的整數列表來代替。

rcond： 浮點數，可選

擬合的相對條件數。相對於最大奇異值小於此的奇異值將被忽略。默認值為 len(x)*eps，其中 eps 是浮點類型的相對精度，大多數情況下約為 2e-16。

full： 布爾型，可選

開關確定返回值的性質。當它為 False(默認值)時，僅返回係數，當還返返回自奇異值分解的 True 診斷信息時。

w： 數組樣，形狀(M，)， 可選的

重量。如果不是 None，則權重 w[i] 適用於 x[i] 處的未平方殘差 y[i] - y_hat[i]。理想情況下，選擇權重以使產品w[i]*y[i] 的誤差都具有相同的方差。使用 inverse-variance 加權時，請使用 w[i] = 1/sigma(y[i]) 。默認值為無。

返回：

coef： ndarray，形狀(M，)或(M，K)

勒讓德係數從低到高排序。如果 y 是二維的，則 y 的 k 列中數據的係數在 k 列中。如果將 deg 指定為列表，則未包含在擬合中的項的係數在返回的 coef 中設置為零。

[residuals, rank, singular_values, rcond]： 列表

這些值僅在 full == True 時返回

• 殘差 - 最小二乘擬合的殘差平方和

• rank - 縮放的 Vandermonde 矩陣的數值等級

• singular_values - 縮放範德蒙矩陣的奇異值

• rcond - rcond 的值。

有關詳細信息，請參閱 numpy.linalg.lstsq 。

警告：

RankWarning

最小二乘擬合中係數矩陣的秩不足。僅當 full == False 時才會引發警告。可以通過以下方式關閉警告

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

注意：

解決方案是使加權平方誤差之和最小化的勒讓德級數 p 的係數

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

其中\(w_j\) 是權重。這個問題是通過建立(通常)超定矩陣方程來解決的

\[V(x) * c = w * y,\]

其中 V 是 x 的加權偽 Vandermonde 矩陣，c 是要求解的係數，w 是權重，y 是觀測值。然後使用 V 的奇異值分解求解該方程。

如果某些奇異值V是如此之小以至於它們被忽略了，那麽RankWarning將發出。這意味著可能很難確定係數值。使用低階擬合通常會消除警告。這rcond參數也可以設置為小於其默認值的值，但結果擬合可能是虛假的並且有很大的舍入誤差貢獻。

使用勒讓德級數的擬合通常比使用冪級數的擬合更好，但很大程度上取決於樣本點的分布和數據的平滑度。如果配合質量不合適，樣條曲線可能是一個不錯的選擇。

參考：

1：

維基百科，“Curve fitting”，https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting