Python SciPy stats.fligner用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.stats.fligner 的用法。

用法:

scipy.stats.fligner(*samples, center='median', proportiontocut=0.05)#

執行Fligner-Killeen 檢驗方差相等。

Fligner 檢驗檢驗所有輸入樣本均來自方差相等的總體的原假設。當總體相同時，Fligner-Killeen 的測試是無分布的 [2]。

參數 ：：

sample1, sample2, …： array_like

樣本數據數組。不必是相同的長度。

center： {‘mean’, ‘median’, ‘trimmed’}，可選

關鍵字參數控製數據的哪個函數用於計算測試統計量。默認值為‘median’。

proportiontocut： 浮點數，可選

什麽時候中央是‘trimmed’，這給出了從每一端切割的數據點的比例。 (看scipy.stats.trim_mean.) 默認值為 0.05。

返回 ：：

statistic： 浮點數

檢驗統計量。

pvalue： 浮點數

假設檢驗的 p 值。

注意：

與 Levene 的測試一樣，Fligner 的測試也有三種變體，它們的不同之處在於測試中使用的集中趨勢度量。有關詳細信息，請參閱 levene 。

康諾弗等人。 (1981) 通過廣泛的模擬檢查了許多現有的參數和非參數檢驗，他們得出結論，Fligner 和 Killeen (1976) 和 Levene (1960) 提出的檢驗在偏離正態性和功率的穩健性方麵似乎更優越[3 ]。

參考：

[1]

Park, C. 和 Lindsay, B. G. (1999)。基於二次推理函數的穩健尺度估計和假設檢驗。技術報告 #99-03，賓夕法尼亞州立大學可能性研究中心。https://cecas.clemson.edu/~cspark/cv/paper/qif/draftqif2.pdf

[2]

Fligner, M.A. 和 Killeen, T.J. (1976)。 Distribution-free 規模的兩個樣本測試。 “美國統計協會雜誌”。71(353), 210-213。

[3]

Park, C. 和 Lindsay, B. G. (1999)。基於二次推理函數的穩健尺度估計和假設檢驗。技術報告 #99-03，賓夕法尼亞州立大學可能性研究中心。

[4]

Conover, W. J., Johnson, M. E. 和 Johnson M. M. (1981)。方差同質性檢驗的比較研究，並應用於外大陸架投標數據。技術計量學，23(4)，351-361。

[5]

C.I. BLISS (1952)，生物測定統計：特別參考維生素，第 499-503 頁，DOI:10.1016/C2013-0-12584-6。

[6]

B. Phipson 和 G. K. Smyth。 “排列 P 值不應該為零：隨機抽取排列時計算精確的 P 值。”遺傳學和分子生物學中的統計應用 9.1 (2010)。

[7]

勒德布魯克，J. 和達德利，H. (1998)。為什麽排列檢驗在生物醫學研究中優於 t 和 F 檢驗。 《美國統計學家》，52(2), 127-132。

例子：

文獻[5]研究了維生素C對豚鼠牙齒生長的影響。在一項對照研究中，60 名受試者被分為小劑量組、中劑量組和大劑量組，分別每天服用 0.5、1.0 和 2.0 毫克維生素 C。 42天後，測量牙齒的生長情況。

下麵的 small_dose 、 medium_dose 和 large_dose 數組記錄了三組的牙齒生長測量值(以微米為單位)。

>>> import numpy as np
>>> small_dose = np.array([
...     4.2, 11.5, 7.3, 5.8, 6.4, 10, 11.2, 11.2, 5.2, 7,
...     15.2, 21.5, 17.6, 9.7, 14.5, 10, 8.2, 9.4, 16.5, 9.7
... ])
>>> medium_dose = np.array([
...     16.5, 16.5, 15.2, 17.3, 22.5, 17.3, 13.6, 14.5, 18.8, 15.5,
...     19.7, 23.3, 23.6, 26.4, 20, 25.2, 25.8, 21.2, 14.5, 27.3
... ])
>>> large_dose = np.array([
...     23.6, 18.5, 33.9, 25.5, 26.4, 32.5, 26.7, 21.5, 23.3, 29.5,
...     25.5, 26.4, 22.4, 24.5, 24.8, 30.9, 26.4, 27.3, 29.4, 23
... ])

fligner 統計量對樣本之間的方差差異敏感。

>>> from scipy import stats
>>> res = stats.fligner(small_dose, medium_dose, large_dose)
>>> res.statistic
1.3878943408857916

當方差差異較大時，統計量的值往往較高。

我們可以通過將統計量的觀測值與零分布進行比較來測試組之間的方差不等性：零分布是在三組總體方差相等的零假設下得出的統計值的分布。

對於此檢驗，零分布遵循卡方分布，如下所示。

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> k = 3  # number of samples
>>> dist = stats.chi2(df=k-1)
>>> val = np.linspace(0, 8, 100)
>>> pdf = dist.pdf(val)
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
>>> def plot(ax):  # we'll re-use this
...     ax.plot(val, pdf, color='C0')
...     ax.set_title("Fligner Test Null Distribution")
...     ax.set_xlabel("statistic")
...     ax.set_ylabel("probability density")
...     ax.set_xlim(0, 8)
...     ax.set_ylim(0, 0.5)
>>> plot(ax)
>>> plt.show()

比較通過 p 值進行量化：零分布中大於或等於統計觀測值的值的比例。

>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
>>> plot(ax)
>>> pvalue = dist.sf(res.statistic)
>>> annotation = (f'p-value={pvalue:.4f}\n(shaded area)')
>>> props = dict(facecolor='black', width=1, headwidth=5, headlength=8)
>>> _ = ax.annotate(annotation, (1.5, 0.22), (2.25, 0.3), arrowprops=props)
>>> i = val >= res.statistic
>>> ax.fill_between(val[i], y1=0, y2=pdf[i], color='C0')
>>> plt.show()

>>> res.pvalue
0.49960016501182125

如果 p 值為 “small” - 也就是說，如果從具有相同方差的分布中采樣數據產生統計量極值的概率較低 - 這可以作為反對零假設的證據另一種選擇：各組的方差不相等。注意：

• 反之則不成立；也就是說，檢驗不用於為原假設提供證據。

• 將被視為“small”的值的閾值是在分析數據之前應做出的選擇[6]，同時考慮誤報(錯誤地拒絕零假設)和漏報(未能拒絕假設)的風險。錯誤的原假設)。

• p 值小並不能證明效果大；相反，它們隻能為 “significant” 效應提供證據，這意味著它們不太可能在原假設下發生。

請注意，卡方分布提供了零分布的漸近近似。對於小樣本，執行排列檢驗可能更合適：在所有三個樣本均來自同一總體的零假設下，每個測量值在三個樣本中的任何一個中觀察到的可能性相同。因此，我們可以通過計算將觀測值劃分為三個樣本的許多 randomly-generated 下的統計量來形成隨機零分布。

>>> def statistic(*samples):
...     return stats.fligner(*samples).statistic
>>> ref = stats.permutation_test(
...     (small_dose, medium_dose, large_dose), statistic,
...     permutation_type='independent', alternative='greater'
... )
>>> fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
>>> plot(ax)
>>> bins = np.linspace(0, 8, 25)
>>> ax.hist(
...     ref.null_distribution, bins=bins, density=True, facecolor="C1"
... )
>>> ax.legend(['aymptotic approximation\n(many observations)',
...            'randomized null distribution'])
>>> plot(ax)
>>> plt.show()

>>> ref.pvalue  # randomized test p-value
0.4332  # may vary

請注意，此處計算的 p 值與上麵 fligner 返回的漸近近似值之間存在顯著差異。從排列檢驗中嚴格得出的統計推論是有限的；盡管如此，在許多情況下它們可能是首選方法 [7]。

以下是另一個一般示例，其中原假設將被拒絕。

測試列表 a、b 和 c 是否來自具有相等方差的總體。

>>> a = [8.88, 9.12, 9.04, 8.98, 9.00, 9.08, 9.01, 8.85, 9.06, 8.99]
>>> b = [8.88, 8.95, 9.29, 9.44, 9.15, 9.58, 8.36, 9.18, 8.67, 9.05]
>>> c = [8.95, 9.12, 8.95, 8.85, 9.03, 8.84, 9.07, 8.98, 8.86, 8.98]
>>> stat, p = stats.fligner(a, b, c)
>>> p
0.00450826080004775

小 p 值表明總體方差不相等。

這並不奇怪，因為 b 的樣本方差遠大於 a 和 c 的樣本方差：

>>> [np.var(x, ddof=1) for x in [a, b, c]]
[0.007054444444444413, 0.13073888888888888, 0.008890000000000002]