Python SciPy special.spherical_yn用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.special.spherical_yn 的用法。

用法:

scipy.special.spherical_yn(n, z, derivative=False)#

第二類球貝塞爾函數或其導數。

定義為[1]，

\[y_n(z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} Y_{n + 1/2}(z),\]

其中\(Y_n\) 是第二類貝塞爾函數。

參數 ：：

n： 整數，數組

Bessel 函數的階數 (n >= 0)。

z： 複數或浮點數，數組

貝塞爾函數的參數。

derivative： 布爾型，可選

如果為 True，則返回導數(而不是函數本身)的值。

返回 ：：

yn： ndarray

注意：

對於實參，該函數使用升序遞歸 [2] 計算。對於複雜的參數，使用與第二類圓柱貝塞爾函數的定義關係。

使用關係 [3] 計算導數，

\[ \begin{align}\begin{aligned}y_n' = y_{n-1} - \frac{n + 1}{z} y_n.\\y_0' = -y_1\end{aligned}\end{align} \]

參考：

[1]

https://dlmf.nist.gov/10.47.E4

[2]

https://dlmf.nist.gov/10.51.E1

[3]

https://dlmf.nist.gov/10.51.E2

[AS]

Milton Abramowitz 和 Irene A. Stegun 合編。帶有公式、圖表和數學表格的數學函數手冊。紐約：多佛，1972 年。

例子：

第二類 \(y_n\) 的球麵貝塞爾函數接受實數和複數第二個參數。他們可以返回一個複雜的類型：

>>> from scipy.special import spherical_yn
>>> spherical_yn(0, 3+5j)
(8.022343088587197-9.880052589376795j)
>>> type(spherical_yn(0, 3+5j))
<class 'numpy.complex128'>

我們可以在區間 \([1, 2]\) 中驗證 \(n=3\) 的注釋導數的關係：

>>> import numpy as np
>>> x = np.arange(1.0, 2.0, 0.01)
>>> np.allclose(spherical_yn(3, x, True),
...             spherical_yn(2, x) - 4/x * spherical_yn(3, x))
True

前幾個 \(y_n\) 帶有真實參數：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x = np.arange(0.0, 10.0, 0.01)
>>> fig, ax = plt.subplots()
>>> ax.set_ylim(-2.0, 1.0)
>>> ax.set_title(r'Spherical Bessel functions $y_n$')
>>> for n in np.arange(0, 4):
...     ax.plot(x, spherical_yn(n, x), label=rf'$y_{n}$')
>>> plt.legend(loc='best')
>>> plt.show()