Python numpy Generator.multivariate_normal用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 numpy.random.Generator.multivariate_normal 的用法。

用法:

random.Generator.multivariate_normal(mean, cov, size=None, check_valid='warn', tol=1e-8, *, method='svd')

從多元正態分布中抽取隨機樣本。

多元正態分布、多正態分布或高斯分布是一維正態分布向更高維度的推廣。這種分布由其均值和協方差矩陣指定。這些參數類似於一維正態分布的均值(平均值或“center”)和方差(標準差或“width,”平方)。

參數：

mean： 一維 數組，長度為 N

N 維分布的平均值。

cov： 2-D 數組，形狀 (N, N)

分布的協方差矩陣。它必須是對稱的和半正定的才能正確采樣。

size： int 或整數元組，可選

例如，給定一個形狀，(m,n,k),m*n*k生成樣本，並打包在一個m-經過-n-經過-k安排。因為每個樣本都是N-維，輸出形狀為(m,n,k,N).如果未指定形狀，則單個 (N-D) 樣品被退回。

check_valid： { ‘warn’, ‘raise’, ‘ignore’ }，可選

協方差矩陣不是半正定時的行為。

tol： 浮點數，可選

檢查協方差矩陣中的奇異值時的容差。 cov 在檢查前被強製加倍。

method： { ‘svd’, ‘eigh’, ‘cholesky’}，可選

cov 輸入用於計算因子矩陣 A 使得A @ A.T = cov.此參數用於選擇用於計算因子矩陣 A 的方法。默認方法 ‘svd’ 是最慢的，而 ‘cholesky’ 是最快的，但不如最慢的方法穩健。方法八使用特征分解來計算 A 並且比 svd 快但比 cholesky 慢。

返回：

out： ndarray

繪製的樣本，形狀尺寸，如果提供的話。如果不是，形狀是(N,).

換句話說，每個條目out[i,j,...,:] 是從分布中提取的 N 維值。

注意：

均值是 N 維空間中的一個坐標，表示最有可能生成樣本的位置。這類似於一維或單變量正態分布的鍾形曲線的峰值。

協方差表示兩個變量一起變化的水平。從多元正態分布中，我們抽取 N 維樣本 \(X = [x_1, x_2, ... x_N]\) 。協方差矩陣元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的協方差。元素\(C_{ii}\) 是\(x_i\)(即它的“spread”)的方差。

代替指定完整的協方差矩陣，流行的近似值包括：

• 球麵協方差( cov 是單位矩陣的倍數)

• 對角協方差( cov 具有非負元素，並且僅在對角線上)

通過繪製生成的data-points，可以在二維中看到此幾何屬性：

>>> mean = [0, 0]
>>> cov = [[1, 0], [0, 100]]  # diagonal covariance

對角協方差意味著點沿 x 或 y 軸定向：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> x, y = np.random.default_rng().multivariate_normal(mean, cov, 5000).T
>>> plt.plot(x, y, 'x')
>>> plt.axis('equal')
>>> plt.show()

請注意，協方差矩陣必須是半正定的(又名nonnegative-definite)。否則，此方法的行為是未定義的，並且不能保證向後兼容性。

參考：

1：

Papoulis, A.，“概率、隨機變量和隨機過程”，第 3 版，紐約：McGraw-Hill，1991 年。

2：

Duda, R. O.、Hart, P. E. 和 Stork, D. G.，“模式分類”，第 2 版，紐約：Wiley，2001。

例子：

>>> mean = (1, 2)
>>> cov = [[1, 0], [0, 1]]
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3))
>>> x.shape
(3, 3, 2)

我們可以使用除默認方法之外的其他方法來分解 cov：

>>> y = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3), method='cholesky')
>>> y.shape
(3, 3, 2)

以下可能是正確的，因為 0.6 大約是標準偏差的兩倍：

>>> list((x[0,0,:] - mean) < 0.6)
[True, True] # random