Python numpy Generator.gumbel用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 numpy.random.Generator.gumbel 的用法。

用法:

random.Generator.gumbel(loc=0.0, scale=1.0, size=None)

從 Gumbel 分布中抽取樣本。

從具有指定位置和比例的 Gumbel 分布中抽取樣本。有關 Gumbel 分布的更多信息，請參閱下麵的注釋和參考。

參數：

loc： float 或 數組 的浮點數，可選

分布模式的位置。默認值為 0。

scale： float 或 數組 的浮點數，可選

分布的尺度參數。默認值為 1。必須為非負數。

size： int 或整數元組，可選

輸出形狀。例如，如果給定的形狀是 (m, n, k) ，則繪製 m * n * k 樣本。如果 size 為 None(默認)，如果 loc 和 scale 都是標量，則返回單個值。否則，將抽取np.broadcast(loc, scale).size 樣本。

返回：

out： ndarray 或標量

從參數化 Gumbel 分布中抽取樣本。

注意：

Gumbel(或最小極值 (SEV) 或最小極值類型 I)分布是用於對極值問題建模的一類廣義極值 (GEV) 分布。 Gumbel 是極值 I 型分布的一個特例，用於具有 “exponential-like” 尾部分布的最大值。

Gumbel 分布的概率密度為

\[p(x) = \frac{e^{-(x - \mu)/ \beta}}{\beta} e^{ -e^{-(x - \mu)/ \beta}},\]

其中\(\mu\)是模式，位置參數，\(\beta\)是比例參數。

Gumbel(以德國數學家 Emil Julius Gumbel 命名)很早就在水文學文獻中用於模擬洪水事件的發生。它還用於模擬最大風速和降雨率。這是一個 “fat-tailed” 分布 - 分布尾部發生事件的概率比使用高斯分布的概率更大，因此 100 年洪水的發生令人驚訝地頻繁。洪水最初被建模為高斯過程，它低估了極端事件的頻率。

它是一類極值分布，即廣義極值 (GEV) 分布，其中還包括 Weibull 和 Frechet。

該函數的平均值為 \(\mu + 0.57721\beta\) ，方差為 \(\frac{\pi^2}{6}\beta^2\) 。

參考：

1：

Gumbel, E. J.，“極端統計”，紐約：哥倫比亞大學出版社，1958 年。

2：

賴斯，R.-D。和 Thomas, M.，“保險、金融、水文和其他領域極值的統計分析”，巴塞爾：Birkhauser Verlag，2001 年。

例子：

從分布中抽取樣本：

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> mu, beta = 0, 0.1 # location and scale
>>> s = rng.gumbel(mu, beta, 1000)

顯示樣本的直方圖以及概率密度函數：

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> count, bins, ignored = plt.hist(s, 30, density=True)
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp( -np.exp( -(bins - mu) /beta) ),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.show()

顯示極值分布如何從高斯過程中產生並與高斯過程進行比較：

>>> means = []
>>> maxima = []
>>> for i in range(0,1000) :
...    a = rng.normal(mu, beta, 1000)
...    means.append(a.mean())
...    maxima.append(a.max())
>>> count, bins, ignored = plt.hist(maxima, 30, density=True)
>>> beta = np.std(maxima) * np.sqrt(6) / np.pi
>>> mu = np.mean(maxima) - 0.57721*beta
>>> plt.plot(bins, (1/beta)*np.exp(-(bins - mu)/beta)
...          * np.exp(-np.exp(-(bins - mu)/beta)),
...          linewidth=2, color='r')
>>> plt.plot(bins, 1/(beta * np.sqrt(2 * np.pi))
...          * np.exp(-(bins - mu)**2 / (2 * beta**2)),
...          linewidth=2, color='g')
>>> plt.show()