R BunchKaufman-class 密集束-考夫曼分解

说明

类 BunchKaufman 和 pBunchKaufman 表示 n \times n 实对称矩阵 A 的 Bunch-Kaufman 分解，具有一般形式

其中D_{U}和D_{L}是对称的，由b_{U}和b_{L}、1 \times 1或2 \times 2对角块组成的块对角矩阵； U = \prod_{k = 1}^{b_{U}} P_{k} U_{k} 是 b_{U} row-permuted 单位上三角矩阵的乘积，每个单位上三角矩阵在对角线上方有 1 或 2 列的非零项； L = \prod_{k = 1}^{b_{L}} P_{k} L_{k} 是 b_{L} row-permuted 单位下三角矩阵的乘积，每个单位下三角矩阵在对角线下方有 1 或 2 列非零条目。

这些类将 2 b_{U} + 1 或 2 b_{L} + 1 因子的非零条目存储为长度为 nn ( BunchKaufman ) 或 n(n+1)/2 ( pBunchKaufman ) 的密集格式的向量，它们各自是稀疏的，后者给出“packed”表示。

插槽

Dim , Dimnames

从虚拟类MatrixFactorization继承。

uplo

一个字符串，"U" 或 "L" ，指示使用因式分解对称矩阵的哪个三角形(上或下)来计算因式分解，以及如何对 x 槽进行分区。

x

长度为 n*n ( BunchKaufman ) 或 n*(n+1)/2 ( pBunchKaufman ) 的数值向量，其中 n=Dim[1] 。表示的细节由 LAPACK 例程 dsytrf 和 dsptrf 的手册指定。

perm

长度为 n=Dim[1] 的整数向量，指定行和列交换，如 LAPACK 例程 dsytrf 和 dsptrf 手册中所述。

扩展

直接类 BunchKaufmanFactorization 。类 MatrixFactorization ，按类 BunchKaufmanFactorization ，距离 2。

实例化

对象可以通过 new("BunchKaufman", ...) 或 new("pBunchKaufman", ...) 形式的调用直接生成，但它们更通常作为继承自 dsyMatrix 或 dspMatrix 的 x 的 BunchKaufman(x) 值获取。

方法

coerce

signature(from = "BunchKaufman", to = "dtrMatrix") ：返回 dtrMatrix ，可用于检查因式分解的内部表示；看注释'。

coerce

signature(from = "pBunchKaufman", to = "dtpMatrix") ：返回 dtpMatrix ，可用于检查因式分解的内部表示；看注释'。

determinant

signature(from = "p?BunchKaufman", logarithm = "logical") ：计算因式分解矩阵A 的行列式或其对数。

expand1

signature(x = "p?BunchKaufman") ：参见expand1-methods 。

expand2

signature(x = "p?BunchKaufman") ：参见expand2-methods 。

solve

signature(a = "p?BunchKaufman", b = .) ：参见solve-methods 。

注意

在 Matrix < 1.6-0 中，类 BunchKaufman 扩展 dtrMatrix 和类 pBunchKaufman 扩展 dtpMatrix ，反映了分解的内部表示本质上是三角形的事实：有 n(n+1)/2 “parameters” 和这些可以系统地排列形成n \times n三角矩阵。 Matrix 1.6-0 删除了这些扩展，以便不再从 dtrMatrix 和 dtpMatrix 继承方法。此类方法的可用性给人一种错误的印象，即 BunchKaufman 和 pBunchKaufman 代表一个(奇异)矩阵，而实际上它们代表一组有序的矩阵因子。

强制 as(., "dtrMatrix") 和 as(., "dtpMatrix") 是为了解这些注意事项的用户提供的。

例子

showClass("BunchKaufman")
set.seed(1)

n <- 6L
(A <- forceSymmetric(Matrix(rnorm(n * n), n, n)))

## With dimnames, to see that they are propagated :
dimnames(A) <- rep.int(list(paste0("x", seq_len(n))), 2L)

(bk.A <- BunchKaufman(A))
str(e.bk.A <- expand2(bk.A, complete = FALSE), max.level = 2L)
str(E.bk.A <- expand2(bk.A, complete =  TRUE), max.level = 2L)

## Underlying LAPACK representation
(m.bk.A <- as(bk.A, "dtrMatrix"))
stopifnot(identical(as(m.bk.A, "matrix"), `dim<-`(bk.A@x, bk.A@Dim)))

## Number of factors is 2*b+1, b <= n, which can be nontrivial ...
(b <- (length(E.bk.A) - 1L) %/% 2L)

ae1 <- function(a, b, ...) all.equal(as(a, "matrix"), as(b, "matrix"), ...)
ae2 <- function(a, b, ...) ae1(unname(a), unname(b), ...)

## A ~ U DU U', U := prod(Pk Uk) in floating point
stopifnot(exprs = {
    identical(names(e.bk.A), c("U", "DU", "U."))
    identical(e.bk.A[["U" ]], Reduce(`%*%`, E.bk.A[seq_len(b)]))
    identical(e.bk.A[["U."]], t(e.bk.A[["U"]]))
    ae1(A, with(e.bk.A, U %*% DU %*% U.))
})

## Factorization handled as factorized matrix
b <- rnorm(n)
stopifnot(identical(det(A), det(bk.A)),
          identical(solve(A, b), solve(bk.A, b)))

参考

The LAPACK source code, including documentation; see https://netlib.org/lapack/double/dsytrf.f and https://netlib.org/lapack/double/dsptrf.f.

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. doi:10.56021/9781421407944

也可以看看

类 dsyMatrix 及其打包对应项。

通用函数 BunchKaufman 、 expand1 和 expand2 。