Python SciPy linalg.qz用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.linalg.qz 的用法。

用法:

scipy.linalg.qz(A, B, output='real', lwork=None, sort=None, overwrite_a=False, overwrite_b=False, check_finite=True)#

一對矩陣的廣義特征值的 QZ 分解。

一對 n-by-n 矩陣 (A,B) 的 QZ 或廣義 Schur 分解為：

(A,B) = (Q @ AA @ Z*, Q @ BB @ Z*)

其中 AA、BB 是廣義 Schur 形式，如果 BB 是具有非負對角線的上三角且 AA 是上三角，或者對於實數 QZ 分解 (output='real') 具有 1x1 和 2x2 塊的塊上三角。在這種情況下，1x1 塊對應於實廣義特征值，2x2 塊通過使 BB 的相應元素具有以下形式而成為‘standardized’：

[ a 0 ]
[ 0 b ]

AA 和 BB 中對應的 2x2 塊對將具有廣義特征值的複共軛對。如果 (output='complex') 或 A 和 B 是複矩陣，則 Z' 表示 Z 的 conjugate-transpose。Q 和 Z 是酉矩陣。

參數 ：：

A： (N, N) 數組

二維數組分解

B： (N, N) 數組

二維數組分解

output： {‘real’, ‘complex’}，可選

為實矩陣構造實數或複數 QZ 分解。默認為‘real’。

lwork： 整數，可選

工作數組大小。如果 None 或 -1，它會自動計算。

sort： {無，可調用，‘lhp’, ‘rhp’, ‘iuc’, ‘ouc’}，可選

注意：此輸入目前已禁用。請改用 ordqz。

指定是否應該對上特征值進行排序。可以傳遞一個可調用對象，給定一個特征值，返回一個布爾值，表示特征值是否應該排序到左上角 (True)。對於實數矩陣對，排序函數采用三個實數參數(alphar、alphai、beta)。特征值 x = (alphar + alphai*1j)/beta 。對於複數矩陣對或 output='complex'，排序函數采用兩個複數參數(alpha，beta)。特征值 x = (alpha/beta) 。或者，可以使用字符串參數：

• ‘lhp’ Left-hand plane (x.real < 0.0)

• ‘rhp’ Right-hand plane (x.real > 0.0)

• ‘iuc’ Inside the unit circle (x*x.conjugate() < 1.0)

• ‘ouc’ Outside the unit circle (x*x.conjugate() > 1.0)

默認為無(無排序)。

overwrite_a： 布爾型，可選

是否覆蓋 a 中的數據(可能會提高性能)

overwrite_b： 布爾型，可選

是否覆蓋b中的數據(可能會提高性能)

check_finite： 布爾型，可選

如果為真，則檢查 A 和 B 的元素是有限數。如果 false 不檢查並將矩陣傳遞給底層算法。

返回 ：：

AA： (N, N) 數組

A 的廣義 Schur 形式。

BB： (N, N) 數組

B 的廣義 Schur 形式。

Q： (N, N) 數組

左 Schur 向量。

Z： (N, N) 數組

右 Schur 向量。

注意：

Q 與 Matlab 中的等效函數進行了轉置。

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.linalg import qz

>>> A = np.array([[1, 2, -1], [5, 5, 5], [2, 4, -8]])
>>> B = np.array([[1, 1, -3], [3, 1, -1], [5, 6, -2]])

計算分解。 QZ 分解不是唯一的，因此根據所使用的底層庫，以下輸出中的係數符號可能存在差異。

>>> AA, BB, Q, Z = qz(A, B)
>>> AA
array([[-1.36949157, -4.05459025,  7.44389431],
       [ 0.        ,  7.65653432,  5.13476017],
       [ 0.        , -0.65978437,  2.4186015 ]])  # may vary
>>> BB
array([[ 1.71890633, -1.64723705, -0.72696385],
       [ 0.        ,  8.6965692 , -0.        ],
       [ 0.        ,  0.        ,  2.27446233]])  # may vary
>>> Q
array([[-0.37048362,  0.1903278 ,  0.90912992],
       [-0.90073232,  0.16534124, -0.40167593],
       [ 0.22676676,  0.96769706, -0.11017818]])  # may vary
>>> Z
array([[-0.67660785,  0.63528924, -0.37230283],
       [ 0.70243299,  0.70853819, -0.06753907],
       [ 0.22088393, -0.30721526, -0.92565062]])  # may vary

驗證 QZ 分解。對於實際輸出，我們隻需要在以下表達式中轉置Z。

>>> Q @ AA @ Z.T  # Should be A
array([[ 1.,  2., -1.],
       [ 5.,  5.,  5.],
       [ 2.,  4., -8.]])
>>> Q @ BB @ Z.T  # Should be B
array([[ 1.,  1., -3.],
       [ 3.,  1., -1.],
       [ 5.,  6., -2.]])

重複分解，但使用 output='complex' 。

>>> AA, BB, Q, Z = qz(A, B, output='complex')

為了輸出簡潔，我們使用np.set_printoptions()將NumPy數組的輸出精度設置為3，並將微小值顯示為0。

>>> np.set_printoptions(precision=3, suppress=True)
>>> AA
array([[-1.369+0.j   ,  2.248+4.237j,  4.861-5.022j],
       [ 0.   +0.j   ,  7.037+2.922j,  0.794+4.932j],
       [ 0.   +0.j   ,  0.   +0.j   ,  2.655-1.103j]])  # may vary
>>> BB
array([[ 1.719+0.j   , -1.115+1.j   , -0.763-0.646j],
       [ 0.   +0.j   ,  7.24 +0.j   , -3.144+3.322j],
       [ 0.   +0.j   ,  0.   +0.j   ,  2.732+0.j   ]])  # may vary
>>> Q
array([[ 0.326+0.175j, -0.273-0.029j, -0.886-0.052j],
       [ 0.794+0.426j, -0.093+0.134j,  0.402-0.02j ],
       [-0.2  -0.107j, -0.816+0.482j,  0.151-0.167j]])  # may vary
>>> Z
array([[ 0.596+0.32j , -0.31 +0.414j,  0.393-0.347j],
       [-0.619-0.332j, -0.479+0.314j,  0.154-0.393j],
       [-0.195-0.104j,  0.576+0.27j ,  0.715+0.187j]])  # may vary

對於複雜數組，我們必須在以下表達式中使用Z.conj().T來驗證分解。

>>> Q @ AA @ Z.conj().T  # Should be A
array([[ 1.-0.j,  2.-0.j, -1.-0.j],
       [ 5.+0.j,  5.+0.j,  5.-0.j],
       [ 2.+0.j,  4.+0.j, -8.+0.j]])
>>> Q @ BB @ Z.conj().T  # Should be B
array([[ 1.+0.j,  1.+0.j, -3.+0.j],
       [ 3.-0.j,  1.-0.j, -1.+0.j],
       [ 5.+0.j,  6.+0.j, -2.+0.j]])