Python SciPy integrate.newton_cotes用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.integrate.newton_cotes 的用法。

用法:

scipy.integrate.newton_cotes(rn, equal=0)#

Newton-Cotes 積分的返回權重和誤差係數。

假設我們在 x_0, x_1, ..., x_N 位置有 (N+1) 個 f 樣本。那麽 x_0 和 x_N 之間積分的 N-point Newton-Cotes 公式為：

\(\int_{x_0}^{x_N} f(x)dx = \Delta x \sum_{i=0}^{N} a_i f(x_i) + B_N (\Delta x)^{N+2} f^{N+1} (\xi)\)

其中\(\xi \in [x_0,x_N]\) 和\(\Delta x = \frac{x_N-x_0}{N}\) 是平均樣本間距。

如果樣本等距且 N 為偶數，則誤差項為 \(B_N (\Delta x)^{N+3} f^{N+2}(\xi)\) 。

參數 ：：

rn： int

等距數據的整數順序或樣本的相對位置，第一個樣本位於 0，最後一個樣本位於 N，其中 N+1 是 rn 的長度。 N 是Newton-Cotes 積分的階數。

equal： 整數，可選

設置為 1 以強製使用等距數據。

返回 ：：

an： ndarray

一維權重數組，用於在提供的樣本位置應用到函數。

B： 浮點數

誤差係數。

注意：

通常，Newton-Cotes 規則用於較小的積分區域，複合規則用於返回總積分。

例子：

計算 [0, \(\pi\) ] 中 sin(x) 的積分：

>>> from scipy.integrate import newton_cotes
>>> import numpy as np
>>> def f(x):
...     return np.sin(x)
>>> a = 0
>>> b = np.pi
>>> exact = 2
>>> for N in [2, 4, 6, 8, 10]:
...     x = np.linspace(a, b, N + 1)
...     an, B = newton_cotes(N, 1)
...     dx = (b - a) / N
...     quad = dx * np.sum(an * f(x))
...     error = abs(quad - exact)
...     print('{:2d}  {:10.9f}  {:.5e}'.format(N, quad, error))
...
 2   2.094395102   9.43951e-02
 4   1.998570732   1.42927e-03
 6   2.000017814   1.78136e-05
 8   1.999999835   1.64725e-07
10   2.000000001   1.14677e-09