Python numpy polynomial.polyfit用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 numpy.polynomial.polynomial.polyfit 的用法。

用法:

polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)

多項式與數據的最小二乘擬合。

返回多項式的係數度這是適合數據值的最小二乘y在點給出x.如果y是一維的，返回的係數也將是一維的。如果y是 2-D 多次擬合完成，每列一個y，並且得到的係數存儲在二維返回的相應列中。擬合多項式的形式為

\[p(x) = c_0 + c_1 * x + ... + c_n * x^n,\]

其中 n 是度數。

參數：

x： 數組樣，形狀(M,)

的 x 坐標M樣本(數據)點(x[i], y[i]).

y： 數組樣，形狀(M，) 或者 (M,K)

樣本點的 y 坐標。共享相同 x 坐標的幾組樣本點可以(獨立地)通過一次調用來擬合numpy.polyfit通過傳入y一個二維數組，每列包含一個數據集。

deg： int 或 1-D 數組

擬合多項式的次數。如果 deg 是單個整數，則所有直到並包括 deg'th 項的項都包含在擬合中。對於 NumPy 版本 >= 1.11.0，可以使用指定要包含的項的度數的整數列表來代替。

rcond： 浮點數，可選

擬合的相對條件數。奇異值小於rcond，相對於最大奇異值，將被忽略。默認值為len(x)*eps，其中每股收益是平台浮點類型的相對精度，大多數情況下約為 2e-16。

full： 布爾型，可選

開關決定返回值的性質。當False(默認)隻返回係數；當 True 時，還返返回自奇異值分解(用於求解擬合矩陣方程)的診斷信息。

w： 數組樣，形狀(M，)， 可選的

重量。如果不是 None，則權重 w[i] 適用於 x[i] 處的未平方殘差 y[i] - y_hat[i]。理想情況下，選擇權重以使產品w[i]*y[i] 的誤差都具有相同的方差。使用 inverse-variance 加權時，請使用 w[i] = 1/sigma(y[i]) 。默認值為無。

返回：

coef： ndarray，形狀(度+ 1,) 或 (度+ 1,K)

多項式係數從低到高排序。如果 y 是二維的，則 coef 的 k 列中的係數表示擬合 y 的 k-th 列中數據的多項式。

[residuals, rank, singular_values, rcond]： 列表

這些值僅在 full == True 時返回

• 殘差 - 最小二乘擬合的殘差平方和

• rank - 縮放的 Vandermonde 矩陣的數值等級

• singular_values - 縮放範德蒙矩陣的奇異值

• rcond - rcond 的值。

有關詳細信息，請參閱 numpy.linalg.lstsq 。

拋出：

RankWarning

如果最小二乘擬合中的矩陣存在秩不足，則引發該錯誤。僅當 full == False 時才會引發警告。可以通過以下方式關閉警告：

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

注意：

解是使加權平方誤差之和最小化的多項式 p 的係數

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

其中 \(w_j\) 是權重。這個問題通過建立(通常)over-determined矩陣方程來解決：

\[V(x) * c = w * y,\]

其中 V 是 x 的加權偽 Vandermonde 矩陣，c 是要求解的係數，w 是權重，y 是觀測值。然後使用 V 的奇異值分解求解該方程。

如果某些奇異值V太小以至於被忽視(和numpy.full==False)， 一種RankWarning將被提高。這意味著可能很難確定係數值。擬合低階多項式通常會消除警告(但可能不是您想要的，當然；如果您有獨立的理由選擇不工作的度數，您可能必須：a)重新考慮這些原因，和/或 b) 重新考慮您的數據質量)。這rcond參數也可以設置為小於其默認值的值，但結果擬合可能是虛假的並且有很大的舍入誤差貢獻。

使用雙精度的多項式擬合傾向於 “fail” 大約(多項式)20 次。使用切比雪夫或勒讓德級數的擬合通常條件較好，但很大程度上仍取決於樣本點的分布和數據的平滑度。如果配合質量不合適，樣條曲線可能是一個不錯的選擇。

例子：

>>> np.random.seed(123)
>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1]
>>> y = x**3 - x + np.random.randn(len(x)) # x^3 - x + N(0,1) "noise"
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> np.random.seed(123)
>>> c # c[0], c[2] should be approx. 0, c[1] approx. -1, c[3] approx. 1
array([ 0.01909725, -1.30598256, -0.00577963,  1.02644286]) # may vary
>>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results
 [array([ 38.06116253]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158,  0.50443316, # may vary
          0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]

一樣的東西，沒有額外的噪音

>>> y = x**3 - x
>>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True)
>>> c # c[0], c[2] should be "very close to 0", c[1] ~= -1, c[3] ~= 1
array([-6.36925336e-18, -1.00000000e+00, -4.08053781e-16,  1.00000000e+00])
>>> stats # note the minuscule SSR
[array([  7.46346754e-31]), 4, array([ 1.38446749,  1.32119158, # may vary
           0.50443316,  0.28853036]), 1.1324274851176597e-014]