Python numpy polyfit用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 numpy.polyfit 的用法。

用法:

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)

最小二乘多項式擬合。

注意

這構成了舊多項式 API 的一部分。從版本 1.4 開始，首選在 numpy.polynomial 中定義的新多項式 API。可以在過渡指南中找到差異摘要。

擬合多項式p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg]學位度到點(x, y).返回係數向量p最小化訂單中的平方誤差度,度-1, …0.

Polynomial.fit 類方法推薦用於新代碼，因為它在數值上更穩定。有關詳細信息，請參閱該方法的文檔。

參數：

x： 數組, 形狀 (M,)

M 個采樣點的 x 坐標 (x[i], y[i]) 。

y： 數組, 形狀 (M,) 或 (M, K)

樣本點的 y 坐標。通過傳入每列包含一個數據集的 2D-array，可以一次擬合多個共享相同 x 坐標的樣本點數據集。

deg： int

擬合多項式的次數

rcond： 浮點數，可選

擬合的相對條件數。相對於最大奇異值小於此的奇異值將被忽略。默認值為 len(x)*eps，其中 eps 是浮點類型的相對精度，大多數情況下約為 2e-16。

full： 布爾型，可選

開關確定返回值的性質。當它為 False(默認值)時，僅返回係數，當還返返回自奇異值分解的 True 診斷信息時。

w： 數組，形狀(M，)，可選

重量。如果不是 None，則權重 w[i] 適用於 x[i] 處的未平方殘差 y[i] - y_hat[i]。理想情況下，選擇權重以使產品w[i]*y[i] 的誤差都具有相同的方差。使用 inverse-variance 加權時，請使用 w[i] = 1/sigma(y[i]) 。默認值為無。

cov： bool 或 str，可選

如果給定而不是False，不僅返回估計值，還返回其協方差矩陣。默認情況下，協方差按 chi2/dof 縮放，其中 dof = M - (deg + 1)，即，權重被假定為不可靠，除非在相對意義上，並且所有內容都被縮放，使得減少的 chi2 是統一的。如果cov='unscaled'，與權重為 w = 1/sigma 的情況相關，已知 sigma 是對不確定性的可靠估計。

返回：

p： ndarray，形狀(deg + 1，)或(deg + 1，K)

多項式係數，最高功率優先。如果y是二維的，係數為k-th 數據集在p[:,k].

殘差，排名，singular_values，rcond

這些值僅在 full == True 時返回

• 殘差 - 最小二乘擬合的殘差平方和

• rank - 縮放的 Vandermonde 的有效等級

  係數矩陣

• singular_values - 縮放的 Vandermonde 的奇異值

  係數矩陣

• rcond - rcond 的值。

有關詳細信息，請參閱 numpy.linalg.lstsq 。

V： ndarray，形狀(M，M)或(M，M，K)

僅在以下情況下出現full == False和cov == True.多項式係數估計的協方差矩陣。該矩陣的對角線是每個係數的方差估計。如果 y 是一個二維數組，那麽k-th 數據集在V[:,:,k]

警告：

RankWarning

最小二乘擬合中係數矩陣的秩不足。僅當 full == False 時才會引發警告。

可以通過以下方式關閉警告

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)

注意：

該解決方案使平方誤差最小化

\[E = \sum_{j=0}^k |p(x_j) - y_j|^2\]

在等式中：

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

係數p的係數矩陣是Vandermonde矩陣。

polyfit發出一個RankWarning當最小二乘擬合條件不好時。這意味著由於數值誤差，最佳擬合並未明確定義。通過降低多項式次數或替換可以改善結果x經過x-x.mean()。這rcond參數也可以設置為小於其默認值的值，但結果擬合可能是虛假的：包括來自小的奇異值的貢獻可能會給結果添加數值噪聲。

請注意，當多項式的次數很大或樣本點的間隔嚴重居中時，擬合多項式係數本質上是不良條件的。在這些情況下，應始終檢查配合質量。當多項式擬合不令人滿意時，樣條曲線可能是一個不錯的選擇。

參考：

1：

維基百科，“Curve fitting”，https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

2：

維基百科，“Polynomial interpolation”，https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

例子：

>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

使用 poly1d 對象來處理多項式很方便：

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

高階多項式可能會劇烈振蕩：

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

示例:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()