Python SciPy csgraph.maximum_flow用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.sparse.csgraph.maximum_flow 的用法。

用法:

scipy.sparse.csgraph.maximum_flow(csgraph, source, sink)#

最大化图中两个顶点之间的流。

参数 ：：

csgraph： csr_matrix

表示有向图的方阵，其第 (i, j) 项是一个整数，表示顶点 i 和 j 之间的边的容量。

source： int

流从中流出的源顶点。

sink： int

流流向的汇顶点。

method: {‘edmonds_karp’, ‘dinic’}, optional：

用于计算最大流量的方法/算法。支持以下方法，

• ‘edmonds_karp’: Edmonds Karp algorithm in [1].

• ‘dinic’: Dinic’s algorithm in [4].

默认为‘dinic’。

返回 ：：

res： MaximumFlowResult

由 MaximumFlowResult 表示的最大流，包括 flow_value 中的流值和 flow 中的流图。

抛出 ：：

TypeError:：

如果输入图不是 CSR 格式。

ValueError:：

如果容量值不是整数，或者源或接收器超出范围。

注意：

这解决了给定有向加权图上的最大流问题：流与每条边相关联的值，也称为流，小于边的容量，因此对于每个顶点(除了源顶点和汇顶点) ，总流入流量等于总流出流量。流的值是离开源顶点的所有边的流的总和，最大流问题包括找到值最大的流。

根据max-flow min-cut定理，流的最大值也是最小割中边的总权重。

为了解决这个问题，我们提供了Edmonds-Karp [1] 和 Dinic 算法 [4]。两种算法的实现都力求利用稀疏性。前者的时间复杂度为\(O(|V|\,|E|^2)\)，其空间复杂度为\(O(|E|)\)。后者通过构建级别图并在其中找到阻塞流来实现其性能。它的时间复杂度是\(O(|V|^2\,|E|)\)，它的空间复杂度是\(O(|E|)\)。

最大流量问题通常用实值容量来定义，但我们要求所有容量都是不可分割的，以确保收敛。在处理有理容量或某些固定 \(x \in \mathbb{R}\) 属于 \(x\mathbb{Q}\) 的容量时，可以通过相应地缩放所有容量来将问题简化为整数情况。

解决 maximum-flow 问题可用于例如计算机视觉中的图割优化 [3]。

参考：

[1] (1,2)

Edmonds, J. 和 Karp, R. M. 网络流问题算法效率的理论改进。 1972. ACM 杂志。 19 (2): 第 248-264 页

[2]

Cormen, T. H. 和 Leiserson, C. E. 以及 Rivest, R. L. 和 Stein C. 算法导论。第二版。 2001. 麻省理工学院出版社。

[3]

https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_cuts_in_computer_vision

[4] (1,2)

Dinic, Efim A. 用功率估计解决网络中最大流量问题的算法。在苏联数学。多克拉迪，第一卷。 11，第 1277-1280 页。 1970 年。

例子：

也许最简单的流问题是只有两个顶点的图，其边从源 (0) 到汇 (1)：

(0) --5--> (1)

这里，最大流量就是边的容量：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csr_matrix
>>> from scipy.sparse.csgraph import maximum_flow
>>> graph = csr_matrix([[0, 5], [0, 0]])
>>> maximum_flow(graph, 0, 1).flow_value
5
>>> maximum_flow(graph, 0, 1, method='edmonds_karp').flow_value
5

另一方面，如果源和接收器之间存在瓶颈，则可以减少最大流量：

(0) --5--> (1) --3--> (2)

>>> graph = csr_matrix([[0, 5, 0], [0, 0, 3], [0, 0, 0]])
>>> maximum_flow(graph, 0, 2).flow_value
3

[2] 的第 26.1 章给出了一个不那么简单的例子：

>>> graph = csr_matrix([[0, 16, 13,  0,  0,  0],
...                     [0,  0, 10, 12,  0,  0],
...                     [0,  4,  0,  0, 14,  0],
...                     [0,  0,  9,  0,  0, 20],
...                     [0,  0,  0,  7,  0,  4],
...                     [0,  0,  0,  0,  0,  0]])
>>> maximum_flow(graph, 0, 5).flow_value
23

可以将在二分图中找到最大匹配的问题简化为最大流问题：让\(G = ((U, V), E)\) 为二分图。然后，向图中添加一个源顶点，该顶点与 \(U\) 中的每个顶点的边，以及一个与 \(V\) 中每个顶点的边的汇顶点。最后，给结果图中的每条边赋予 1 的容量。然后，新图中的最大流给出原始图中的最大匹配，该匹配由 \(E\) 中流为正的边组成。

假设边由CSR格式的\(\lvert U \rvert \times \lvert V \rvert\)矩阵表示，如果从\(i \in U\)到\(j \in V\)有边，则其\((i, j)\)'th entry为1，否则为0；也就是说，输入是 maximum_bipartite_matching 所需的形式。然后上面构造的图的 CSR 表示包含这个矩阵作为一个块。这是一个例子：

>>> graph = csr_matrix([[0, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [0, 1, 1, 0]])
>>> print(graph.toarray())
[[0 1 0 1]
 [1 0 1 0]
 [0 1 1 0]]
>>> i, j = graph.shape
>>> n = graph.nnz
>>> indptr = np.concatenate([[0],
...                          graph.indptr + i,
...                          np.arange(n + i + 1, n + i + j + 1),
...                          [n + i + j]])
>>> indices = np.concatenate([np.arange(1, i + 1),
...                           graph.indices + i + 1,
...                           np.repeat(i + j + 1, j)])
>>> data = np.ones(n + i + j, dtype=int)
>>>
>>> graph_flow = csr_matrix((data, indices, indptr))
>>> print(graph_flow.toarray())
[[0 1 1 1 0 0 0 0 0]
 [0 0 0 0 0 1 0 1 0]
 [0 0 0 0 1 0 1 0 0]
 [0 0 0 0 0 1 1 0 0]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 1]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 1]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 1]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 1]
 [0 0 0 0 0 0 0 0 0]]

此时，我们可以找到添加的Sink和添加的Source之间的最大流量，并且通过将流量函数限制在原始图对应的块上可以得到所需的匹配：

>>> result = maximum_flow(graph_flow, 0, i+j+1, method='dinic')
>>> matching = result.flow[1:i+1, i+1:i+j+1]
>>> print(matching.toarray())
[[0 1 0 0]
 [1 0 0 0]
 [0 0 1 0]]

这告诉我们\(U\) 中的第一个、第二个和第三个顶点分别与\(V\) 中的第二个、第一个和第三个顶点匹配。

虽然这通常解决了最大二分匹配问题，但请注意，专门针对该问题的算法，例如 maximum_bipartite_matching ，通常会表现得更好。

这种方法也可用于解决最大二分匹配问题的各种常见推广。例如，如果某些顶点可以与多个其他顶点匹配，则可以通过适当地修改新图的容量来处理。