Python SciPy csgraph.maximum_bipartite_matching用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.sparse.csgraph.maximum_bipartite_matching 的用法。

用法:

scipy.sparse.csgraph.maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row')#

返回一个二分图的匹配，其基数至少是该图的任何给定匹配的基数。

参数 ：：

graph： 稀疏矩阵

CSR 格式的稀疏输入，其行代表图形的一个分区，其列代表另一个分区。两个顶点之间的边由矩阵中存在于其稀疏表示中的相应条目指示。

perm_type： 字符串，{‘row’, ‘column’}

哪个分区返回匹配项：如果 'row' ，该函数生成一个数组，其长度是输入中的列数，其 \(j\) 'th 元素是与 \(j\) 'th 匹配的行柱子。相反，如果 perm_type 是 'column' ，则返回与每一行匹配的列。

返回 ：：

perm： ndarray

两个分区之一中的顶点匹配。结果中不匹配的顶点由-1 表示。

注意：

此函数实现Hopcroft-Karp 算法 [1]。它的时间复杂度为 \(O(\lvert E \rvert \sqrt{\lvert V \rvert})\) ，其空间复杂度与行数成线性关系。实际上，行和列之间的这种不对称意味着如果输入包含的列多于行，则转置输入会更有效。

根据 Konig 定理，匹配的基数也是图的最小顶点覆盖中出现的顶点数。

请注意，如果稀疏表示包含显式零，这些仍然算作边。

SciPy 1.4.0 中更改了实现，以允许匹配一般二分图，以前的版本会假设存在完美匹配。因此，针对 1.4.0 编写的代码不一定适用于旧版本。

如果可能存在多个有效解决方案，则输出可能会因 SciPy 和 Python 版本而异。

参考：

[1]

约翰 E. 霍普克罗夫特和理查德 M. 卡普。 “二部图中最大匹配的 n^{5 /2} 算法”，载于：SIAM Journal of Computing 2.4 (1973)，第 225-231 页。 DOI:10.1137/0202019

例子：

>>> from scipy.sparse import csr_matrix
>>> from scipy.sparse.csgraph import maximum_bipartite_matching

作为一个简单的例子，考虑一个二分图，其中分区分别包含 2 个和 3 个元素。假设一个分区包含标记为 0 和 1 的顶点，而另一个分区包含标记为 A、B 和 C 的顶点。假设有连接 0 和 C、1 和 A、1 和 B 的边。那么这个图将是由以下稀疏矩阵表示：

>>> graph = csr_matrix([[0, 0, 1], [1, 1, 0]])

在这里，1 可以是任何东西，只要它们最终被存储为稀疏矩阵中的元素。我们现在可以计算最大匹配如下：

>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='column'))
[2 0]
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row'))
[ 1 -1  0]

第一个输出告诉我们 1 和 2 分别与 C 和 A 匹配，第二个输出告诉我们 A、B 和 C 分别与 1、nothing 和 0 匹配。

请注意，显式零仍会转换为边。这意味着表示上图的另一种方式是直接使用 CSR 结构，如下所示：

>>> data = [0, 0, 0]
>>> indices = [2, 0, 1]
>>> indptr = [0, 1, 3]
>>> graph = csr_matrix((data, indices, indptr))
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='column'))
[2 0]
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row'))
[ 1 -1  0]

当一个或两个分区为空时，匹配也为空：

>>> graph = csr_matrix((2, 0))
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='column'))
[-1 -1]
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row'))
[]

当输入矩阵是方阵，并且已知图承认完美匹配时，即具有图中每个顶点都属于匹配中的某个边的性质的匹配，则可以将输出视为行的排列 (或列)将输入矩阵变成一个具有所有对角元素都是非空的属性的矩阵：

>>> a = [[0, 1, 2, 0], [1, 0, 0, 1], [2, 0, 0, 3], [0, 1, 3, 0]]
>>> graph = csr_matrix(a)
>>> perm = maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row')
>>> print(graph[perm].toarray())
[[1 0 0 1]
 [0 1 2 0]
 [0 1 3 0]
 [2 0 0 3]]