Python SciPy csgraph.laplacian用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.sparse.csgraph.laplacian 的用法。

用法:

scipy.sparse.csgraph.laplacian(csgraph, normed=False, return_diag=False, use_out_degree=False, *, copy=True, form='array', dtype=None, symmetrized=False)#

返回有向图的拉普拉斯算子。

参数 ：：

csgraph： 数组 或稀疏矩阵，二维

compressed-sparse 图形，形状为 (N, N)。

normed： 布尔型，可选

如果为 True，则计算对称归一化拉普拉斯算子。默认值：假。

return_diag： 布尔型，可选

如果为 True，则还返回与顶点度数相关的数组。默认值：假。

use_out_degree： 布尔型，可选

如果为 True，则使用出度而不是入度。仅当图形不对称时，这种区别才重要。默认值：假。

copy: bool, optional：

如果为 False，则尽可能更改 csgraph，避免内存使用量加倍。默认值：True，用于向后兼容。

form: ‘array’, or ‘function’, or ‘lo’：

确定输出拉普拉斯算子的格式：

• ‘array’ 是一个 numpy 数组；

• ‘function’是评估Laplacian-vector或Laplacian-matrix产品的指针；

• ‘lo’ 结果采用 LinearOperator 的格式。

选择‘function’ 或‘lo’ 始终避免内存使用加倍，忽略 copy 值。默认值：‘array’，用于向后兼容。

dtype: None or one of numeric numpy dtypes, optional：

输出的数据类型。如果 dtype=None ，输出的 dtype 与输入 csgraph 的 dtype 匹配，但 normed=True 和 integer-like csgraph 情况除外，其中输出 dtype 为 ‘float’ 允许精确标准化，但会显著增加内存使用。默认值：无，用于向后兼容。

symmetrized: bool, optional：

如果为 True，则输出拉普拉斯算子是对称/厄米算子。对称化是通过以下方式完成的csgraph + csgraph.T.conj如果可能的话，在构造拉普拉斯算子之前不除以 2 以保留整数数据类型。对称化将增加稀疏矩阵的内存占用，除非稀疏模式是对称的或形式是‘function’ 或‘lo’。默认值：False，用于向后兼容。

返回 ：：

lap： ndarray，或稀疏矩阵，或LinearOperator

csgraph 的 N x N 拉普拉斯算子。如果输入是密集的，则它将是 NumPy 数组(密集)，否则将是稀疏矩阵，或者如果形式分别等于 ‘function’ 或 ‘lo’，则为函数格式或 LinearOperator。

diag： ndarray，可选

拉普拉斯矩阵的 length-N 主对角线。对于归一化拉普拉斯算子，这是顶点度数的平方根数组，如果度数为零，则为 1。

注意：

图的拉普拉斯矩阵有时被称为“Kirchhoff matrix”或只是“Laplacian”，并且在谱图理论的许多部分中都很有用。特别是，拉普拉斯算子的特征分解可以深入了解图的许多属性，例如，通常用于频谱数据嵌入和聚类。

如果 copy=True 和 form="array" 是默认值，则构造的拉普拉斯算子会使内存使用量加倍。除非 form="array" 或矩阵以 coo 格式稀疏或密集数组，否则选择 copy=False 无效，但 normed=True 的整数输入强制浮点输出。

如果 form="array" ，稀疏输入将重新格式化为 coo ，这是默认值。

如果输入邻接矩阵不对称，则拉普拉斯算子也是非对称的，除非使用symmetrized=True。

出于标准化目的，输入邻接矩阵的对角项将被忽略并替换为零，其中 normed=True .归一化使用输入邻接矩阵的 row-sums 的反平方根，因此如果 row-sums 包含负数或具有非零虚部值的复数，则可能会失败。

归一化是对称的，如果输入 csgraph 是对称的，则归一化的拉普拉斯算子也是对称的。

参考：

[1]

拉普拉斯矩阵。 https://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian_matrix

例子：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csgraph

我们的第一个插图是对称图

>>> G = np.arange(4) * np.arange(4)[:, np.newaxis]
>>> G
array([[0, 0, 0, 0],
       [0, 1, 2, 3],
       [0, 2, 4, 6],
       [0, 3, 6, 9]])

及其对称拉普拉斯矩阵

>>> csgraph.laplacian(G)
array([[ 0,  0,  0,  0],
       [ 0,  5, -2, -3],
       [ 0, -2,  8, -6],
       [ 0, -3, -6,  9]])

非对称图

>>> G = np.arange(9).reshape(3, 3)
>>> G
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5],
       [6, 7, 8]])

具有不同的行和列总和，从而产生两种拉普拉斯矩阵，使用入度(默认值)

>>> L_in_degree = csgraph.laplacian(G)
>>> L_in_degree
array([[ 9, -1, -2],
       [-3,  8, -5],
       [-6, -7,  7]])

或者出度

>>> L_out_degree = csgraph.laplacian(G, use_out_degree=True)
>>> L_out_degree
array([[ 3, -1, -2],
       [-3,  8, -5],
       [-6, -7, 13]])

构造一个对称拉普拉斯矩阵，可以将两者相加为

>>> L_in_degree + L_out_degree.T
array([[ 12,  -4,  -8],
        [ -4,  16, -12],
        [ -8, -12,  20]])

或使用symmetrized=True选项

>>> csgraph.laplacian(G, symmetrized=True)
array([[ 12,  -4,  -8],
       [ -4,  16, -12],
       [ -8, -12,  20]])

这相当于将原始图对称化

>>> csgraph.laplacian(G + G.T)
array([[ 12,  -4,  -8],
       [ -4,  16, -12],
       [ -8, -12,  20]])

归一化的目标是使拉普拉斯矩阵的非零对角线项全部为单位，同时相应地缩放非对角线项。标准化可以手动完成，例如，

>>> G = np.array([[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]])
>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True)
>>> L
array([[ 2, -1, -1],
       [-1,  2, -1],
       [-1, -1,  2]])
>>> d
array([2, 2, 2])
>>> scaling = np.sqrt(d)
>>> scaling
array([1.41421356, 1.41421356, 1.41421356])
>>> (1/scaling)*L*(1/scaling)
array([[ 1. , -0.5, -0.5],
       [-0.5,  1. , -0.5],
       [-0.5, -0.5,  1. ]])

或者使用normed=True选项

>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True, normed=True)
>>> L
array([[ 1. , -0.5, -0.5],
       [-0.5,  1. , -0.5],
       [-0.5, -0.5,  1. ]])

现在返回缩放系数而不是对角线

>>> d
array([1.41421356, 1.41421356, 1.41421356])

零缩放系数用 1 代替，因此缩放没有影响，例如，

>>> G = np.array([[0, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 1, 0]])
>>> G
array([[0, 0, 0],
       [0, 0, 1],
       [0, 1, 0]])
>>> L, d = csgraph.laplacian(G, return_diag=True, normed=True)
>>> L
array([[ 0., -0., -0.],
       [-0.,  1., -1.],
       [-0., -1.,  1.]])
>>> d
array([1., 1., 1.])

仅实现对称归一化，当且仅当其图是对称的并且具有所有非负度时，才会产生对称拉普拉斯矩阵，如上面的示例所示。

默认情况下，输出拉普拉斯矩阵是密集数组或稀疏矩阵，从输入图矩阵推断其形状、格式和数据类型：

>>> G = np.array([[0, 1, 1], [1, 0, 1], [1, 1, 0]]).astype(np.float32)
>>> G
array([[0., 1., 1.],
       [1., 0., 1.],
       [1., 1., 0.]], dtype=float32)
>>> csgraph.laplacian(G)
array([[ 2., -1., -1.],
       [-1.,  2., -1.],
       [-1., -1.,  2.]], dtype=float32)

但也可以生成 matrix-free 作为 LinearOperator：

>>> L = csgraph.laplacian(G, form="lo")
>>> L
<3x3 _CustomLinearOperator with dtype=float32>
>>> L(np.eye(3))
array([[ 2., -1., -1.],
       [-1.,  2., -1.],
       [-1., -1.,  2.]])

或作为lambda-function：

>>> L = csgraph.laplacian(G, form="function")
>>> L
<function _laplace.<locals>.<lambda> at 0x0000012AE6F5A598>
>>> L(np.eye(3))
array([[ 2., -1., -1.],
       [-1.,  2., -1.],
       [-1., -1.,  2.]])

拉普拉斯矩阵用于频谱数据聚类和嵌入以及频谱图划分。我们的最后一个示例说明了噪声有向线性图的后者。

>>> from scipy.sparse import diags, random
>>> from scipy.sparse.linalg import lobpcg

使用稀疏邻接矩阵 G 创建具有 N=35 顶点的有向线性图：

>>> N = 35
>>> G = diags(np.ones(N-1), 1, format="csr")

修复随机种子 rng 并向图 G 添加随机稀疏噪声：

>>> rng = np.random.default_rng()
>>> G += 1e-2 * random(N, N, density=0.1, random_state=rng)

设置特征向量的初始近似值：

>>> X = rng.random((N, 2))

常数向量始终是要滤除的非归一化拉普拉斯算子的平凡特征向量：

>>> Y = np.ones((N, 1))

交替 (1) 图权重的符号允许在单个循环中确定谱最大和最小切割的标签。由于该图是无向的，因此在构造拉普拉斯算子时必须使用选项symmetrized=True。选项 normed=True 不能在 (2) 中用于此处的负权重，因为对称归一化计算平方根。 (2) 中的选项 form="lo" 是 matrix-free，即保证固定的内存占用和对图的只读访问。调用特征值求解器 lobpcg (3) 计算 Fiedler 向量，该向量将标签确定为 (5) 中其分量的符号。由于特征向量中的符号不是确定性的并且可以翻转，因此我们将 (4) 中第一个分量的符号固定为始终 +1。

>>> for cut in ["max", "min"]:
...     G = -G  # 1.
...     L = csgraph.laplacian(G, symmetrized=True, form="lo")  # 2.
...     _, eves = lobpcg(L, X, Y=Y, largest=False, tol=1e-3)  # 3.
...     eves *= np.sign(eves[0, 0])  # 4.
...     print(cut + "-cut labels:\n", 1 * (eves[:, 0]>0))  # 5.
max-cut labels:
[1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1]
min-cut labels:
[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

正如对(稍微有噪音的)线性图的预期，max-cut 剥离图的所有边，将所有奇数顶点着色为一种颜色，将所有偶数顶点着色为另一种颜色，而平衡的 min-cut 将图在中间划分为删除单个边。两个确定的分区都是最优的。