Python SciPy fft.fht用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 scipy.fft.fht 的用法。

用法:

scipy.fft.fht(a, dln, mu, offset=0.0, bias=0.0)#

计算快速汉克尔变换。

使用 FFTLog 算法 [1]、[2] 计算对数间隔周期序列的离散汉克尔变换。

参数 ：：

a： 类似数组 (…, n)

实周期输入数组，均匀对数间隔。对于多维输入，变换是在最后一个轴上执行的。

dln： 浮点数

输入数组的均匀对数间距。

mu： 浮点数

汉克尔变换的阶数，任何正实数或负实数。

offset： 浮点数，可选

输出阵列的均匀对数间距的偏移。

bias： 浮点数，可选

幂律偏差的指数，任何正或负实数。

返回 ：：

A： 类似数组 (…, n)

变换后的输出数组是实数、周期性、均匀对数间隔且与输入数组形状相同的数组。

注意：

该函数计算汉克尔变换的离散版本

\[A(k) = \int_{0}^{\infty} \! a(r) \, J_\mu(kr) \, k \, dr \;,\]

其中 \(J_\mu\) 是阶数 \(\mu\) 的贝塞尔函数。索引\(\mu\)可以是任何实数，正数或负数。

输入数组a是一个长度为周期的序列\(n\)，均匀对数间隔间距丁,

\[a_j = a(r_j) \;, \quad r_j = r_c \exp[(j-j_c) \, \mathtt{dln}]\]

以点为中心\(r_c\)。注意中心索引\(j_c = (n-1)/2\)是half-integral如果\(n\)是偶数，所以\(r_c\)位于两个输入元素之间。类似地，输出数组A是一个长度为周期的序列\(n\)，也均匀地以对数间隔丁

\[A_j = A(k_j) \;, \quad k_j = k_c \exp[(j-j_c) \, \mathtt{dln}]\]

以点 \(k_c\) 为中心。

中心点\(r_c\)和\(k_c\)周期间隔的数量可以任意选择，但通常选择乘积\(k_c r_c = k_j r_{n-1-j} = k_{n-1-j} r_j\)要团结。可以使用以下命令更改此设置抵消参数，控制对数偏移\(\log(k_c) = \mathtt{offset} - \log(r_c)\)输出数组的。选择一个最佳值抵消可以减少离散汉克尔变换的振铃。

如果偏置参数非零，则该函数计算偏置汉克尔变换的离散版本

\[A(k) = \int_{0}^{\infty} \! a_q(r) \, (kr)^q \, J_\mu(kr) \, k \, dr\]

其中\(q\)的值是偏见，以及幂律偏差\(a_q(r) = a(r) \, (kr)^{-q}\)应用于输入序列。偏置变换可以帮助近似连续变换\(a(r)\)如果有一个值\(q\)这样\(a_q(r)\)接近于周期序列，在这种情况下得到的结果\(A(k)\)将接近连续变换。

参考：

[1]

塔尔曼 J.D.，1978，J.Comp。物理, 29, 35

[2] (1,2)

汉密尔顿 A.J.S.，2000，MNRAS，312, 257 (astro-ph/9905191)

例子：

该示例是[2]中提供的fftlogtest.f的改编版本。它评估积分

\[\int^\infty_0 r^{\mu+1} \exp(-r^2/2) J_\mu(k, r) k dr = k^{\mu+1} \exp(-k^2/2) .\]

>>> import numpy as np
>>> from scipy import fft
>>> import matplotlib.pyplot as plt

变换的参数。

>>> mu = 0.0                     # Order mu of Bessel function
>>> r = np.logspace(-7, 1, 128)  # Input evaluation points
>>> dln = np.log(r[1]/r[0])      # Step size
>>> offset = fft.fhtoffset(dln, initial=-6*np.log(10), mu=mu)
>>> k = np.exp(offset)/r[::-1]   # Output evaluation points

定义分析函数。

>>> def f(x, mu):
...     """Analytical function: x^(mu+1) exp(-x^2/2)."""
...     return x**(mu + 1)*np.exp(-x**2/2)

评估 r 处的函数并使用 FFTLog 计算 k 处的相应值。

>>> a_r = f(r, mu)
>>> fht = fft.fht(a_r, dln, mu=mu, offset=offset)

对于此示例，我们实际上可以计算分析响应(在本例中与输入函数相同)进行比较并计算相对误差。

>>> a_k = f(k, mu)
>>> rel_err = abs((fht-a_k)/a_k)

绘制结果。

>>> figargs = {'sharex': True, 'sharey': True, 'constrained_layout': True}
>>> fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4), **figargs)
>>> ax1.set_title(r'$r^{\mu+1}\ \exp(-r^2/2)$')
>>> ax1.loglog(r, a_r, 'k', lw=2)
>>> ax1.set_xlabel('r')
>>> ax2.set_title(r'$k^{\mu+1} \exp(-k^2/2)$')
>>> ax2.loglog(k, a_k, 'k', lw=2, label='Analytical')
>>> ax2.loglog(k, fht, 'C3--', lw=2, label='FFTLog')
>>> ax2.set_xlabel('k')
>>> ax2.legend(loc=3, framealpha=1)
>>> ax2.set_ylim([1e-10, 1e1])
>>> ax2b = ax2.twinx()
>>> ax2b.loglog(k, rel_err, 'C0', label='Rel. Error (-)')
>>> ax2b.set_ylabel('Rel. Error (-)', color='C0')
>>> ax2b.tick_params(axis='y', labelcolor='C0')
>>> ax2b.legend(loc=4, framealpha=1)
>>> ax2b.set_ylim([1e-9, 1e-3])
>>> plt.show()