在机器学习中，训练出的模型的好坏，很大程度上取决特征的选择是否恰当。例如SVM模型要取得优秀的分类效果，通常需要配合卡方选择才能实现。这是因为，大量的低质特征有时候会抹杀优质特征的区分度，要么过拟合，要么欠拟合，降低了模型的准确率和召回率。特别是特征维度很高的情况下，特征选择显得尤为重要，常用的特征选择方法主要有：
- 频次
- 卡方
- 信息增益
- 互信息
- 期望交叉熵
下文分别予以介绍。
频次
频次这个比较简单，就是看某个特征在所有训练集中的出现次数。例如，我们有3000个训练集样本，统计发现某特征A只出现在5个样本中（无论是正例还是负例），那么特征A就是个超低频特征，对模型的预测性作用不大，可以直接踢掉。总之，我们可以统计训练集中每个特征的出现频次，将低频特征过滤掉。
卡方
卡方的英文名是chi-square distribution，也可以表示为χ2。假设我们要做文本二分类，那么卡方可以帮助我们衡量某单词w跟文档类型C是否相关，根据这个相关程度，我们就可以过滤掉无用的单词，也就是做文本分类的特征选择。以经典的“篮球” 和 “体育”是否相关为例，我么来看看卡方是如何量化衡量着个相关程度的。
| 单词\类型 | 体育类 | 非体育类 |
|---|---|---|
| 包含篮球 | A | B |
| 不包含篮球 | C | D |
如上表所示，我们对训练语料中单词在正负语料中的分布做了统计之后，得出包含“篮球”是体育类和非体育类样本的数量分别是A和B，不包含“篮球”是体育和非体育中的样本数量分别是C和D
进一步得到：
| 类型 | 值 | 概率(近似) |
|---|---|---|
| 文档总数 | N = A + B + C + D | – |
| 包含“篮球” | A + B | P1 = (A + B)/N |
| 不含“篮球” | C + D | P2 = (C + D)/N |
| 体育类 | A + C | P3 = (A + C)/N |
| 非体育类 | B + D | P4 = (B + D)/N |
假设含”篮球”和体育类不相关，那么包含“篮球”且是体育类的概率是：
P = P1 * P3= (A + B)/N * (A+C)/N，
那么包含“篮球”且是体育类的期望值:
E 1 = P * N = (A + B)/N * (A + C) /N * N = (A + B) * (A + C) / N
根据卡方检验度量误差的方法：
我们可以得到含“篮球”和体育不相关 这个假设的靠谱程度为: (A – E1)^2/E1（这个值越小，即假设的误差越小，也就是假设成立的可能性越大）。同理可以得到：
含”篮球”和非体育不相关/不含“篮球”和体育不相关/不含“篮球”和非体育不相关这三个假设的靠谱程度。综上，我们可以得到四个假设，将这四个假设的靠谱程度求和，即可以得到篮球和体育不相关的所有假设的靠谱程度：
其中E1/E2/E3/E4分别是A/B/C/D对应的期望值。结合上面的X值和E值，我们做化简运算得到：
χ2(篮球, 体育)=
————————–公式(1)
这个就是卡方的公式（二分类情形），这个值越大，假设也就越不成立，也就是说篮球和体育越相关。所以我们可以通过卡方值来判断特征是否和类型相关：卡方越大越相关，特征需要保留；卡方越小越不相关，特征需要过滤掉。通常，我们做特征选择时，会保留卡方值最大的K个特征，也就是说使用到的是卡方的相对值（做比较），所以公式中的N（样本总数）在实践中可以去掉。
信息增益
说到信息增益，不得不说一下信息量和信息熵的概念。如果某事件χi已经发生，那么它含有的信息量为：
如果事件χi未发生，那么I(χi)表示事件的不确定性。熵的本质是用来度量系统的不确定性的，不确定性越大，熵越高。它被定义为一个系统中所有事件的平均信息量，也可以认为是变量不确定度的期望。假设一个系统S只由一个变量X组成(X取值是χ1, χ2, χ3 …,χn，出现的概率依次为p(χ1), p(χ2), p(χ3) …,p(χn))，那么信息熵就可以用来度量S的信息量，变量的值越不确定，信息熵越高（S信息量越大）。信息熵一般公式为(对数log以2为底)：
我们把这个概念迁移到文本分类上面来理解，还是以“篮球”和体育类的关系为例（这里使用具体的数值）。
| 单词\类型 | 体育类 | 非体育类 | 合计 |
|---|---|---|---|
| 包含篮球 | 100 | 20 | 120 |
| 不包含篮球 | 50 | 30 | 80 |
| 合计 | 150 | 50 | 200 |
在不知道语料中“篮球”这个词分布的情况下，我们只知道这个分类问题中体育类和非体育类的统计量，其信息熵为：
H1 = -(p[体育]* log(p[体育]) + p[非体育] * log(p[非体育])
= -(150/200 * log(150/200) + 50/200 * log(50/200)) = 0.8113
当“篮球”特征加入之后，信息熵就变成了语料中“篮球“出现和不出现这两个确定的条件下的熵之和。
H2 = -(p[含“篮球”] * (H(体育|含“篮球”))+ p[不含”篮球”] (H(体育|不含“篮球”) )
= -(120/200 * ( 100/120 * log(100/120) + 20/120 * log(20/120)) + 80/200 * (50/80 * log(50/80) + 30/80 * log(30/80))) = 0.7714
信息增益GI = H1 – H2 = 0.8113 – 0.7714 = 0.0399，这个增量值反映的是加入某个特征之后，整个分类系统的收益，增益越大，对分类效果的作用越大。那么，就可以通过信息增益来判断特征对分类系统的贡献程度，增益大的特征倾向于保留，增益小的特征倾向于剔除。这就是基于信息增益的特征选择。信息增益的一般公式如下：
———————————————————————公式(2)
信息增益除用在特征选择之外，还可以用于连续特征离散化（特征分段），以及决策树的节点选择。
互信息
互信息用来度量两个变量的相关性，互信息越大变量越相关，互信息为0时，变量互相独立。在文本分类这个例子中，w和C是离散型变量，单词w与某类别Ci的互信息一般定义为：
其中，p(w|Ci)是Ci类文档中单词w出现的概率，p(w)是单词w出现的概率。在文本分类系统中，词条w跟类C的互信息为：
—————————-公式（3）
这个公式也叫平均互信息。当：
MI(w, C) 远小于0, 表示w和C不相关[负相关];
MI(w, C) 远大于0, 表示w和C强相关[正相关]；
MI(w, C) 约等于0, 表示w和C弱相关。
篮球和体育的问题是二分类，所以这里取N=2，C1和C2分别是体育类和非体育类，那么可以得到：
MI(篮球, 体育）= 150/200 * log((100/150)/(120/200)) + 50/200 * log((20/50)/(120/200)) = -0.0322。
注意，单词在不同的类别上的互信息有正有负，也就是说可能跟某些类别强相关，跟另外的类别弱相关，那么就可能存在正负抵消的问题，所以实际使用中，可以使用绝对值互信息来做特征选择。绝对值互信息是将公式（3）∑后面的每一项求绝对值之后再求和。
期望交叉熵
还是以文本分类问题为例，期望望交叉熵的公式是:
————————–公式(4)
期望交叉熵反映的是：文本类别C的概率分布跟限定了出现单词w之后的文本类别C的概率分布的差距。期望交叉熵越大，对文本分类结果的影响越大，所以可以使用期望交叉熵来进行特征选择，保留熵大的特征，剔除熵小的特征。
参考：
[1] http://www.cnblogs.com/zhangchaoyan
[2] http://zh.wikipedia.org/zh/%E4%BA%92%E4%BF%A1%E6%81%AF
[3] http://www.douban.com/note/205995605/
[4] http://wenku.baidu.com/link?url=aBz8SmnlC1hZDYEvI6Su8Scy1_DzNh65mGwqafcXF8KQTWJ90noONJJwmccuDI9XapPWdyuCO1_scNtFSoKvvvW9GT9wpkNY6BzFDXKBC6S
[5] http://wenku.baidu.com/view/7cea98748e9951e79b89279e.html