Python numpy gradient用法及代码示例

本文简要介绍 python 语言中 numpy.gradient 的用法。

用法:

numpy.gradient(f, *varargs, axis=None, edge_order=1)

返回 N 维数组的梯度。

使用内部点中的二阶精确中心差异和边界处的一阶或二阶精确one-sides(前向或后向)差异计算梯度。因此，返回的梯度具有与输入数组相同的形状。

参数：

f： array_like

包含标量函数样本的 N 维数组。

varargs： 标量或数组列表，可选

f 值之间的间距。所有尺寸的默认单一间距。可以使用以下方式指定间距：

1. 用于指定所有维度的样本距离的单个标量。

2. N个标量为每个维度指定一个恒定的样本距离。即 dx, dy, dz, ...

3. N 个数组，用于指定沿 F 的每个维度的值的坐标。数组的长度必须与对应维度的大小匹配

4. 具有 2. 和 3 含义的 N 个标量/数组的任意组合。

如果给定了轴，则可变参数的数量必须等于轴的数量。默认值：1。

edge_order： {1, 2}，可选

梯度使用N-th 计算边界处的精确差异。默认值：1。

axis： 无或int 或整数元组，可选

梯度仅沿给定的一个或多个轴计算默认值(axis = None)是计算输入数组的所有轴的梯度。轴可能是负数，在这种情况下，它从最后一个轴计数到第一个轴。

返回：

gradient： ndarray 或 ndarray 列表

对应于 f 对每个维度的导数的 ndarrays 列表(如果只有一个维度，则为单个 ndarray)。每个导数具有与 f 相同的形状。

注意：

假设\(f\in C^{3}\)(即\(f\)至少有3个连续导数)并让\(h_{*}\)是一个非齐次步长，我们最小化真实梯度和线性组合估计之间的“consistency error”\(\eta_{i}\)相邻的grid-points：

\[\eta_{i} = f_{i}^{\left(1\right)} - \left[ \alpha f\left(x_{i}\right) + \beta f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \gamma f\left(x_{i}-h_{s}\right) \right]\]

通过用它们的泰勒级数展开替换\(f(x_{i} + h_{d})\) 和\(f(x_{i} - h_{s})\)，这转化为求解以下线性系统：

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{r} \alpha+\beta+\gamma=0 \\ \beta h_{d}-\gamma h_{s}=1 \\ \beta h_{d}^{2}+\gamma h_{s}^{2}=0 \end{array} \right.\end{split}\]

\(f_{i}^{(1)}\) 的结果近似值如下：

\[\hat f_{i}^{(1)} = \frac{ h_{s}^{2}f\left(x_{i} + h_{d}\right) + \left(h_{d}^{2} - h_{s}^{2}\right)f\left(x_{i}\right) - h_{d}^{2}f\left(x_{i}-h_{s}\right)} { h_{s}h_{d}\left(h_{d} + h_{s}\right)} + \mathcal{O}\left(\frac{h_{d}h_{s}^{2} + h_{s}h_{d}^{2}}{h_{d} + h_{s}}\right)\]

值得注意的是，如果\(h_{s}=h_{d}\)(即数据是均匀分布的)我们会找到标准的二阶近似值：

\[\hat f_{i}^{(1)}= \frac{f\left(x_{i+1}\right) - f\left(x_{i-1}\right)}{2h} + \mathcal{O}\left(h^{2}\right)\]

通过类似的过程，可以导出用于边界的前向/后向近似值。

参考：

1：

Quarteroni A.、Sacco R.、Saleri F. (2007) 数值数学(应用数学课本)。纽约：斯普林格。

2：

Durran D. R. (1999) 地球物理流体动力学波动方程的数值方法。纽约：斯普林格。

3：

Fornberg B. (1988) 任意间隔网格上的有限差分公式的生成，计算数学 51，不。 184：699-706。 PDF 。

例子：

>>> f = np.array([1, 2, 4, 7, 11, 16], dtype=float)
>>> np.gradient(f)
array([1. , 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5. ])
>>> np.gradient(f, 2)
array([0.5 ,  0.75,  1.25,  1.75,  2.25,  2.5 ])

间距也可以用一个数组来指定，该数组表示值 F 沿维度的坐标。例如均匀间距：

>>> x = np.arange(f.size)
>>> np.gradient(f, x)
array([1. ,  1.5,  2.5,  3.5,  4.5,  5. ])

或非统一的：

>>> x = np.array([0., 1., 1.5, 3.5, 4., 6.], dtype=float)
>>> np.gradient(f, x)
array([1. ,  3. ,  3.5,  6.7,  6.9,  2.5])

对于二维数组，返回将是按轴排序的两个数组。在这个例子中，第一个数组代表行中的梯度，第二个代表列方向的梯度：

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float))
[array([[ 2.,  2., -1.],
       [ 2.,  2., -1.]]), array([[1. , 2.5, 4. ],
       [1. , 1. , 1. ]])]

在此示例中，还指定了间距：axis = 0 的统一和axis = 1 的非统一

>>> dx = 2.
>>> y = [1., 1.5, 3.5]
>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float), dx, y)
[array([[ 1. ,  1. , -0.5],
       [ 1. ,  1. , -0.5]]), array([[2. , 2. , 2. ],
       [2. , 1.7, 0.5]])]

可以使用 edge_order 指定如何处理边界

>>> x = np.array([0, 1, 2, 3, 4])
>>> f = x**2
>>> np.gradient(f, edge_order=1)
array([1.,  2.,  4.,  6.,  7.])
>>> np.gradient(f, edge_order=2)
array([0., 2., 4., 6., 8.])

axis 关键字可用于指定计算梯度的轴的子集

>>> np.gradient(np.array([[1, 2, 6], [3, 4, 5]], dtype=float), axis=0)
array([[ 2.,  2., -1.],
       [ 2.,  2., -1.]])