Python SciPy csgraph.maximum_bipartite_matching用法及代碼示例

本文簡要介紹 python 語言中 scipy.sparse.csgraph.maximum_bipartite_matching 的用法。

用法:

scipy.sparse.csgraph.maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row')#

返回一個二分圖的匹配，其基數至少是該圖的任何給定匹配的基數。

參數 ：：

graph： 稀疏矩陣

CSR 格式的稀疏輸入，其行代表圖形的一個分區，其列代表另一個分區。兩個頂點之間的邊由矩陣中存在於其稀疏表示中的相應條目指示。

perm_type： 字符串，{‘row’, ‘column’}

哪個分區返回匹配項：如果 'row' ，該函數生成一個數組，其長度是輸入中的列數，其 \(j\) 'th 元素是與 \(j\) 'th 匹配的行柱子。相反，如果 perm_type 是 'column' ，則返回與每一行匹配的列。

返回 ：：

perm： ndarray

兩個分區之一中的頂點匹配。結果中不匹配的頂點由-1 表示。

注意：

此函數實現Hopcroft-Karp 算法 [1]。它的時間複雜度為 \(O(\lvert E \rvert \sqrt{\lvert V \rvert})\) ，其空間複雜度與行數成線性關係。實際上，行和列之間的這種不對稱意味著如果輸入包含的列多於行，則轉置輸入會更有效。

根據 Konig 定理，匹配的基數也是圖的最小頂點覆蓋中出現的頂點數。

請注意，如果稀疏表示包含顯式零，這些仍然算作邊。

SciPy 1.4.0 中更改了實現，以允許匹配一般二分圖，以前的版本會假設存在完美匹配。因此，針對 1.4.0 編寫的代碼不一定適用於舊版本。

如果可能存在多個有效解決方案，則輸出可能會因 SciPy 和 Python 版本而異。

參考：

[1]

約翰 E. 霍普克羅夫特和理查德 M. 卡普。 “二部圖中最大匹配的 n^{5 /2} 算法”，載於：SIAM Journal of Computing 2.4 (1973)，第 225-231 頁。 DOI:10.1137/0202019

例子：

>>> from scipy.sparse import csr_matrix
>>> from scipy.sparse.csgraph import maximum_bipartite_matching

作為一個簡單的例子，考慮一個二分圖，其中分區分別包含 2 個和 3 個元素。假設一個分區包含標記為 0 和 1 的頂點，而另一個分區包含標記為 A、B 和 C 的頂點。假設有連接 0 和 C、1 和 A、1 和 B 的邊。那麽這個圖將是由以下稀疏矩陣表示：

>>> graph = csr_matrix([[0, 0, 1], [1, 1, 0]])

在這裏，1 可以是任何東西，隻要它們最終被存儲為稀疏矩陣中的元素。我們現在可以計算最大匹配如下：

>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='column'))
[2 0]
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row'))
[ 1 -1  0]

第一個輸出告訴我們 1 和 2 分別與 C 和 A 匹配，第二個輸出告訴我們 A、B 和 C 分別與 1、nothing 和 0 匹配。

請注意，顯式零仍會轉換為邊。這意味著表示上圖的另一種方式是直接使用 CSR 結構，如下所示：

>>> data = [0, 0, 0]
>>> indices = [2, 0, 1]
>>> indptr = [0, 1, 3]
>>> graph = csr_matrix((data, indices, indptr))
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='column'))
[2 0]
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row'))
[ 1 -1  0]

當一個或兩個分區為空時，匹配也為空：

>>> graph = csr_matrix((2, 0))
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='column'))
[-1 -1]
>>> print(maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row'))
[]

當輸入矩陣是方陣，並且已知圖承認完美匹配時，即具有圖中每個頂點都屬於匹配中的某個邊的性質的匹配，則可以將輸出視為行的排列 (或列)將輸入矩陣變成一個具有所有對角元素都是非空的屬性的矩陣：

>>> a = [[0, 1, 2, 0], [1, 0, 0, 1], [2, 0, 0, 3], [0, 1, 3, 0]]
>>> graph = csr_matrix(a)
>>> perm = maximum_bipartite_matching(graph, perm_type='row')
>>> print(graph[perm].toarray())
[[1 0 0 1]
 [0 1 2 0]
 [0 1 3 0]
 [2 0 0 3]]