R condest 計算(大)矩陣的近似條件數和 1-範數

說明

“Estimate”，即近似計算(可能很大，通常稀疏)矩陣 A 的 CONDition 數。它的工作原理是應用 1-範數 norm(A,"1") 到 onenormest(.) 的快速隨機近似。

用法

condest(A, t = min(n, 5), normA = norm(A, "1"),
        silent = FALSE, quiet = TRUE)

onenormest(A, t = min(n, 5), A.x, At.x, n,
           silent = FALSE, quiet = silent,
           iter.max = 10, eps = 4 * .Machine$double.eps)

參數

A	方陣，對於 onenormest() 是可選的，其中可以指定 A.x 和 At.x，而不是 A ，請參閱此處。
t	迭代中使用的列數。
normA	數字; A 的 1-範數(估計)，默認為 norm(A, "1") ；可以用估計值代替。
silent	邏輯指示是否應顯示警告和(默認情況下)收斂消息。
quiet	邏輯指示是否應顯示收斂消息。
A.x , At.x	當 A 丟失時，這兩個必須分別作為計算 A %% x 或 t(A) %% x 的函數給出。
n	== nrow(A) ，僅在未指定A 時需要。
iter.max	1-範數估計器的最大迭代次數。
eps	被認為不相關的相對變化。

細節

condest() 調用 lu(A) ，隨後調用 onenormest(A.x = , At.x = ) 來計算 A 、 A^{-1} 的逆的近似範數，從而在 A 稀疏時保持有效使用稀疏矩陣。

請注意， onenormest() 使用隨機向量，因此兩個函數的結果都是隨機的，即取決於隨機種子，請參見 set.seed() 。

值

兩個函數都返回 list ； condest() 帶有組件，

est	數字 > 0 ，估計的(1-範數)條件數 \hat\kappa ；當 r := rcond(A) , 1/\hat\kappa \approx r 。
v	最大A x 列，縮放至norm(v) = 1。因此，norm(A v) = norm(A) / est ；當est很大時，v是近似零向量。

函數 onenormest() 返回一個包含組件的列表，

est	一個數字 > 0 ，估計的 norm(A, "1") 。
v	0-1 整數向量長度 n ，索引 j 處有 1，最大列 A[,j] 位於 A 中。
w	數值向量，找到的最大的A x。
iter	使用的迭代次數。

例子

data(KNex, package = "Matrix")
mtm <- with(KNex, crossprod(mm))
system.time(ce <- condest(mtm))
sum(abs(ce$v)) ## || v ||_1  == 1
## Prove that  || A v || = || A || / est  (as ||v|| = 1):
stopifnot(all.equal(norm(mtm %*% ce$v),
                    norm(mtm) / ce$est))

## reciprocal
1 / ce$est
system.time(rc <- rcond(mtm)) # takes ca  3 x  longer
rc
all.equal(rc, 1/ce$est) # TRUE -- the approxmation was good

one <- onenormest(mtm)
str(one) ## est = 12.3
## the maximal column:
which(one$v == 1) # mostly 4, rarely 1, depending on random seed

作者

This is based on octave's condest() and onenormest() implementations with original author Jason Riedy, U Berkeley; translation to R and adaption by Martin Maechler.

參考

Nicholas J. Higham and Françoise Tisseur (2000). A Block Algorithm for Matrix 1-Norm Estimation, with an Application to 1-Norm Pseudospectra. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 21, 4, 1185-1201.

William W. Hager (1984). Condition Estimates. SIAM J. Sci. Stat. Comput. 5, 311-316.

也可以看看

norm、rcond。