R simplex 线性规划问题的单纯形法

说明

此函数将在 A1%*%x <= b1 、 A2%*%x >= b2 、 A3%*%x = b3 和 x >= 0 约束下优化线性函数 a%*%x 。最大化或最小化都是可能的，但默认为最小化。

用法

simplex(a, A1 = NULL, b1 = NULL, A2 = NULL, b2 = NULL, A3 = NULL,
        b3 = NULL, maxi = FALSE, n.iter = n + 2 * m, eps = 1e-10)

参数

a	长度为 n 的向量，给出目标函数的系数。
A1	\leq 类型约束的 m1 by n 系数矩阵。
b1	长度为 m1 的向量，给出 \leq 约束的右侧。如果给出了A1，则需要此参数，否则将被忽略。 b1 中的所有值都必须为非负数。
A2	\geq 类型约束的 m2 by n 系数矩阵。
b2	长度为 m2 的向量，给出 \geq 约束的右侧。如果给出了A2，则需要此参数，否则将被忽略。 b2 中的所有值都必须为非负数。请注意，约束x >= 0 是自动包含的，因此不应在此处重复。
A3	用于等式约束的系数矩阵 m3 by n。
b3	长度为 m3 的向量给出等式约束的右侧。如果给出了A3，则需要此参数，否则将被忽略。 b3 中的所有值都必须为非负数。
maxi	一个逻辑标志，如果FALSE(默认)则指定最小化，否则指定最大化。如果maxi 是TRUE，则通过将目标函数系数更改为其负数，将最大化问题重新转换为最小化问题。
n.iter	单纯形法每个阶段要进行的最大迭代次数。默认为 n+2*(m1+m2+m3) 。
eps	用于相等测试的浮点容差。

细节

该函数采用的方法是两阶段单纯形法。如果存在\geq或等式约束，则不容易找到初始可行解。为了找到可行的解决方案，在每个 \geq 或等式约束中引入人工变量，并将辅助目标函数定义为这些人工变量的总和。如果存在一组约束的可行解，则当所有人工变量均为 0 时，辅助目标将被最小化。然后将这些变量丢弃，并从辅助问题的解开始解决原始问题。如果唯一的约束是\leq形式，则原点是可行解，因此可以省略第一阶段。

值

类 "simplex" 的对象：参见 simplex.object 。

注意

这里采用的方法仅适用于相对较小的系统。此外，如果可能的话，约束的数量应该减少到最少，以加快执行时间，该时间大约与约束数量的立方成正比。特别是，如果存在 x[i] >= b2[i] 形式的任何约束，则应通过设置 x[i] = x[i]-b2[i] 来省略它们，相应地更改所有约束和目标函数，然后在找到解决方案后转换返回。

例子

# This example is taken from Exercise 7.5 of Gill, Murray and Wright (1991).
enj <- c(200, 6000, 3000, -200)
fat <- c(800, 6000, 1000, 400)
vitx <- c(50, 3, 150, 100)
vity <- c(10, 10, 75, 100)
vitz <- c(150, 35, 75, 5)
simplex(a = enj, A1 = fat, b1 = 13800, A2 = rbind(vitx, vity, vitz),
        b2 = c(600, 300, 550), maxi = TRUE)

参考

Gill, P.E., Murray, W. and Wright, M.H. (1991) Numerical Linear Algebra and Optimization Vol. 1. Addison-Wesley.

Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T. and Flannery, B.P. (1992) Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (Second Edition). Cambridge University Press.