R eigen 矩阵的谱分解

说明

计算数值(双精度、整数、逻辑)或复矩阵的特征值和特征向量。

用法

eigen(x, symmetric, only.values = FALSE, EISPACK = FALSE)

参数

x	要计算其谱分解的数值或复数矩阵。逻辑矩阵被强制转换为数字。
symmetric	如果 TRUE ，则假定矩阵是对称的(如果复数则为埃尔米特矩阵)，并且仅使用其下三角形(包括对角线)。如果未指定symmetric，则使用isSymmetric(x)。
only.values	如果 TRUE ，则仅计算并返回特征值，否则返回特征值和特征向量。
EISPACK	合乎逻辑的。已失效并被忽视。

细节

如果未指定symmetric，则isSymmetric(x) 确定矩阵是否对称，直至出现可能的数值误差。自己设置该值更可靠且通常更快。

对于大型矩阵来说，计算特征向量是最慢的部分。

在 real-world 计算机上计算矩阵的特征分解会出现错误：最终的分析是 Wilkinson (1965)。您所希望的只是一个与 x 相当接近的问题的解决方案。因此，即使实数不对称 x 可能具有具有重复实特征值的代数解，计算出的解也可能是具有复共轭特征值对的类似矩阵。

底层 LAPACK 代码的不成功结果将导致错误，并给出正错误代码(最常见的是 1 )：这些只能通过详细研究 FORTRAN 代码来解释。

x 中缺少 NaN 或无限值将给出错误。

值

x 的谱分解以包含组件的列表形式返回

values	包含 x 的 p 特征值的向量，根据非对称情况下的 Mod(values) 按降序排序，当它们可能很复杂时(即使对于实矩阵)。对于实数不对称矩阵，仅当检测到复数共轭特征值对时，向量才是复数。
vectors	其列包含 x 的特征向量的 p\times p 矩阵，或 NULL (如果 only.values 是 TRUE )。向量被标准化为单位长度。 回想一下，特征向量仅定义为一个常数：即使指定了长度，它们仍然仅定义为模一标量(实矩阵的符号)。

当 only.values 不为 true 时，默认情况下，结果是 S3 类 "eigen" 。

如果 r <- eigen(A) 和 V <- r$vectors; lam <- r$values ，则

(直到数值模糊)，其中 \Lambda = diag(lam) 。

例子

eigen(cbind(c(1,-1), c(-1,1)))
eigen(cbind(c(1,-1), c(-1,1)), symmetric = FALSE)
# same (different algorithm).

eigen(cbind(1, c(1,-1)), only.values = TRUE)
eigen(cbind(-1, 2:1)) # complex values
eigen(print(cbind(c(0, 1i), c(-1i, 0)))) # Hermite ==> real Eigenvalues
## 3 x 3:
eigen(cbind( 1, 3:1, 1:3))
eigen(cbind(-1, c(1:2,0), 0:2)) # complex values

来源

eigen 使用 LAPACK 例程 DSYEVR 、 DGEEV 、 ZHEEV 和 ZGEEV 。

LAPACK 来自https://netlib.org/lapack/，其指南在参考文献中列出。

参考

Anderson. E. and ten others (1999) LAPACK Users' Guide. Third Edition. SIAM.
Available on-line at https://netlib.org/lapack/lug/lapack_lug.html.

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole.

Wilkinson, J. H. (1965) The Algebraic Eigenvalue Problem. Clarendon Press, Oxford.

也可以看看

svd ，eigen 的泛化； qr 和 chol 进行相关分解。

要计算矩阵的行列式，qr 分解效率更高：det 。