R eigen 矩陣的譜分解

說明

計算數值(雙精度、整數、邏輯)或複矩陣的特征值和特征向量。

用法

eigen(x, symmetric, only.values = FALSE, EISPACK = FALSE)

參數

x	要計算其譜分解的數值或複數矩陣。邏輯矩陣被強製轉換為數字。
symmetric	如果 TRUE ，則假定矩陣是對稱的(如果複數則為埃爾米特矩陣)，並且僅使用其下三角形(包括對角線)。如果未指定symmetric，則使用isSymmetric(x)。
only.values	如果 TRUE ，則僅計算並返回特征值，否則返回特征值和特征向量。
EISPACK	合乎邏輯的。已失效並被忽視。

細節

如果未指定symmetric，則isSymmetric(x) 確定矩陣是否對稱，直至出現可能的數值誤差。自己設置該值更可靠且通常更快。

對於大型矩陣來說，計算特征向量是最慢的部分。

在 real-world 計算機上計算矩陣的特征分解會出現錯誤：最終的分析是 Wilkinson (1965)。您所希望的隻是一個與 x 相當接近的問題的解決方案。因此，即使實數不對稱 x 可能具有具有重複實特征值的代數解，計算出的解也可能是具有複共軛特征值對的類似矩陣。

底層 LAPACK 代碼的不成功結果將導致錯誤，並給出正錯誤代碼(最常見的是 1 )：這些隻能通過詳細研究 FORTRAN 代碼來解釋。

x 中缺少 NaN 或無限值將給出錯誤。

值

x 的譜分解以包含組件的列表形式返回

values	包含 x 的 p 特征值的向量，根據非對稱情況下的 Mod(values) 按降序排序，當它們可能很複雜時(即使對於實矩陣)。對於實數不對稱矩陣，僅當檢測到複數共軛特征值對時，向量才是複數。
vectors	其列包含 x 的特征向量的 p\times p 矩陣，或 NULL (如果 only.values 是 TRUE )。向量被標準化為單位長度。 回想一下，特征向量僅定義為一個常數：即使指定了長度，它們仍然僅定義為模一標量(實矩陣的符號)。

當 only.values 不為 true 時，默認情況下，結果是 S3 類 "eigen" 。

如果 r <- eigen(A) 和 V <- r$vectors; lam <- r$values ，則

(直到數值模糊)，其中 \Lambda = diag(lam) 。

例子

eigen(cbind(c(1,-1), c(-1,1)))
eigen(cbind(c(1,-1), c(-1,1)), symmetric = FALSE)
# same (different algorithm).

eigen(cbind(1, c(1,-1)), only.values = TRUE)
eigen(cbind(-1, 2:1)) # complex values
eigen(print(cbind(c(0, 1i), c(-1i, 0)))) # Hermite ==> real Eigenvalues
## 3 x 3:
eigen(cbind( 1, 3:1, 1:3))
eigen(cbind(-1, c(1:2,0), 0:2)) # complex values

來源

eigen 使用 LAPACK 例程 DSYEVR 、 DGEEV 、 ZHEEV 和 ZGEEV 。

LAPACK 來自https://netlib.org/lapack/，其指南在參考文獻中列出。

參考

Anderson. E. and ten others (1999) LAPACK Users' Guide. Third Edition. SIAM.
Available on-line at https://netlib.org/lapack/lug/lapack_lug.html.

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole.

Wilkinson, J. H. (1965) The Algebraic Eigenvalue Problem. Clarendon Press, Oxford.

也可以看看

svd ，eigen 的泛化； qr 和 chol 進行相關分解。

要計算矩陣的行列式，qr 分解效率更高：det 。