Python tf.linalg.LinearOperatorCirculant2D用法及代码示例

LinearOperator 就像一个块循环矩阵。

继承自：LinearOperator，Module

用法

tf.linalg.LinearOperatorCirculant2D(
    spectrum, input_output_dtype=tf.dtypes.complex64, is_non_singular=None,
    is_self_adjoint=None, is_positive_definite=None, is_square=True,
    name='LinearOperatorCirculant2D'
)

该运算符的作用类似于块循环矩阵 A ，对于某些 b >= 0 ，其形状为 [B1,...,Bb, N, N] 。第一个 b 索引索引批处理成员。对于每个批次索引 (i1,...,ib) , A[i1,...,ib,::] 是一个 N x N 矩阵。此矩阵A 未具体化，但为了广播此形状将是相关的。

块循环矩阵的说明

如果A是块循环，块大小为N0, N1(N0 * N1 = N)：A具有块循环结构，由N0 x N0块组成，每个块都有一个N1 x N1循环矩阵。

例如，每个循环使用W , X , Y , Z，

A = |W Z Y X|
    |X W Z Y|
    |Y X W Z|
    |Z Y X W|

请注意，A 本身通常不会循环使用。

频谱方面的说明

在 [batch] 频谱 H 和傅里叶变换方面有一个等效的说明。这里我们考虑A.shape = [N, N] 并忽略批量维度。

If H.shape = [N0, N1] , ( N0 * N1 = N ): 粗略地说，矩阵乘法等于傅里叶乘法器的作用：A u = IDFT2[ H DFT2[u] ]。准确地说，给定 [N, R] 矩阵 u ，让 DFT2[u] 是通过将 u 重新整形为 [N0, N1, R] 并在前两个维度上进行二维 DFT 定义的 [N0, N1, R] Tensor。让 IDFT2 是 DFT2 的倒数。矩阵乘法可以按列表示：

(A u)_r = IDFT2[ H * (DFT2[u])_r ]

从谱中推导出算子属性。

• 此运算符是正定的当且仅当 Real{H} > 0 。

傅立叶变换的一般性质是厄米特函数和实值变换之间的对应关系。

假设 H.shape = [B1,...,Bb, N0, N1] ，我们说 H 是 Hermitian 谱，如果 % 表示模除，

H[..., n0 % N0, n1 % N1] = ComplexConjugate[ H[..., (-n0) % N0, (-n1) % N1 ].

• 当且仅当H 是 Hermitian 时，此运算符对应于实矩阵。
• 当且仅当 H 为实数时，此运算符是自伴的。

参见例如“Discrete-Time 信号处理”，奥本海姆和谢弗。

自伴正定算子示例

# spectrum is real ==> operator is self-adjoint
# spectrum is positive ==> operator is positive definite
spectrum = [[1., 2., 3.],
            [4., 5., 6.],
            [7., 8., 9.]]

operator = LinearOperatorCirculant2D(spectrum)

# IFFT[spectrum]
operator.convolution_kernel()
==> [[5.0+0.0j, -0.5-.3j, -0.5+.3j],
     [-1.5-.9j,        0,        0],
     [-1.5+.9j,        0,        0]]

operator.to_dense()
==> Complex self adjoint 9 x 9 matrix.

根据实际卷积核定义的示例，

# convolution_kernel is real ==> spectrum is Hermitian.
convolution_kernel = [[1., 2., 1.], [5., -1., 1.]]
spectrum = tf.signal.fft2d(tf.cast(convolution_kernel, tf.complex64))

# spectrum is shape [2, 3] ==> operator is shape [6, 6]
# spectrum is Hermitian ==> operator is real.
operator = LinearOperatorCirculant2D(spectrum, input_output_dtype=tf.float32)

性能

假设 operator 是形状为 [N, N] 和 x.shape = [N, R] 的 LinearOperatorCirculant。然后

• operator.matmul(x) 是 O(R*N*Log[N])
• operator.solve(x) 是 O(R*N*Log[N])
• operator.determinant() 涉及大小 N reduce_prod 。

如果相反 operator 和 x 具有形状 [B1,...,Bb, N, N] 和 [B1,...,Bb, N, R] ，则每个操作的复杂性都会增加 B1*...*Bb 。

矩阵属性提示

此 LinearOperator 使用 is_X 形式的布尔标志初始化，用于 X = non_singular, self_adjoint, positive_definite, square 。这些具有以下含义

• 如果 is_X == True ，调用者应该期望操作符具有属性 X 。这是一个应该实现的承诺，但不是运行时断言。例如，有限的浮点精度可能会导致违反这些承诺。
• 如果 is_X == False ，调用者应该期望操作符没有 X 。
• 如果is_X == None(默认)，调用者应该没有任何期望。