Python tf.linalg.LinearOperatorCirculant2D用法及代碼示例

LinearOperator 就像一個塊循環矩陣。

繼承自：LinearOperator，Module

用法

tf.linalg.LinearOperatorCirculant2D(
    spectrum, input_output_dtype=tf.dtypes.complex64, is_non_singular=None,
    is_self_adjoint=None, is_positive_definite=None, is_square=True,
    name='LinearOperatorCirculant2D'
)

該運算符的作用類似於塊循環矩陣 A ，對於某些 b >= 0 ，其形狀為 [B1,...,Bb, N, N] 。第一個 b 索引索引批處理成員。對於每個批次索引 (i1,...,ib) , A[i1,...,ib,::] 是一個 N x N 矩陣。此矩陣A 未具體化，但為了廣播此形狀將是相關的。

塊循環矩陣的說明

如果A是塊循環，塊大小為N0, N1(N0 * N1 = N)：A具有塊循環結構，由N0 x N0塊組成，每個塊都有一個N1 x N1循環矩陣。

例如，每個循環使用W , X , Y , Z，

A = |W Z Y X|
    |X W Z Y|
    |Y X W Z|
    |Z Y X W|

請注意，A 本身通常不會循環使用。

頻譜方麵的說明

在 [batch] 頻譜 H 和傅裏葉變換方麵有一個等效的說明。這裏我們考慮A.shape = [N, N] 並忽略批量維度。

If H.shape = [N0, N1] , ( N0 * N1 = N ): 粗略地說，矩陣乘法等於傅裏葉乘法器的作用：A u = IDFT2[ H DFT2[u] ]。準確地說，給定 [N, R] 矩陣 u ，讓 DFT2[u] 是通過將 u 重新整形為 [N0, N1, R] 並在前兩個維度上進行二維 DFT 定義的 [N0, N1, R] Tensor。讓 IDFT2 是 DFT2 的倒數。矩陣乘法可以按列表示：

(A u)_r = IDFT2[ H * (DFT2[u])_r ]

從譜中推導出算子屬性。

• 此運算符是正定的當且僅當 Real{H} > 0 。

傅立葉變換的一般性質是厄米特函數和實值變換之間的對應關係。

假設 H.shape = [B1,...,Bb, N0, N1] ，我們說 H 是 Hermitian 譜，如果 % 表示模除，

H[..., n0 % N0, n1 % N1] = ComplexConjugate[ H[..., (-n0) % N0, (-n1) % N1 ].

• 當且僅當H 是 Hermitian 時，此運算符對應於實矩陣。
• 當且僅當 H 為實數時，此運算符是自伴的。

參見例如“Discrete-Time 信號處理”，奧本海姆和謝弗。

自伴正定算子示例

# spectrum is real ==> operator is self-adjoint
# spectrum is positive ==> operator is positive definite
spectrum = [[1., 2., 3.],
            [4., 5., 6.],
            [7., 8., 9.]]

operator = LinearOperatorCirculant2D(spectrum)

# IFFT[spectrum]
operator.convolution_kernel()
==> [[5.0+0.0j, -0.5-.3j, -0.5+.3j],
     [-1.5-.9j,        0,        0],
     [-1.5+.9j,        0,        0]]

operator.to_dense()
==> Complex self adjoint 9 x 9 matrix.

根據實際卷積核定義的示例，

# convolution_kernel is real ==> spectrum is Hermitian.
convolution_kernel = [[1., 2., 1.], [5., -1., 1.]]
spectrum = tf.signal.fft2d(tf.cast(convolution_kernel, tf.complex64))

# spectrum is shape [2, 3] ==> operator is shape [6, 6]
# spectrum is Hermitian ==> operator is real.
operator = LinearOperatorCirculant2D(spectrum, input_output_dtype=tf.float32)

性能

假設 operator 是形狀為 [N, N] 和 x.shape = [N, R] 的 LinearOperatorCirculant。然後

• operator.matmul(x) 是 O(R*N*Log[N])
• operator.solve(x) 是 O(R*N*Log[N])
• operator.determinant() 涉及大小 N reduce_prod 。

如果相反 operator 和 x 具有形狀 [B1,...,Bb, N, N] 和 [B1,...,Bb, N, R] ，則每個操作的複雜性都會增加 B1*...*Bb 。

矩陣屬性提示

此 LinearOperator 使用 is_X 形式的布爾標誌初始化，用於 X = non_singular, self_adjoint, positive_definite, square 。這些具有以下含義

• 如果 is_X == True ，調用者應該期望操作符具有屬性 X 。這是一個應該實現的承諾，但不是運行時斷言。例如，有限的浮點精度可能會導致違反這些承諾。
• 如果 is_X == False ，調用者應該期望操作符沒有 X 。
• 如果is_X == None(默認)，調用者應該沒有任何期望。