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如何在Python中做指数和对数曲线拟合?我发现只有多项式拟合

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我有一组数据,我想比较哪一种曲线可以最好地描述它(不同阶的多项式,指数或对数)。

我使用Python和Numpy,多项式拟合有一个函数polyfit()。但是我没有发现这样的指数和对数拟合函数。

有没有?或者如何解决呢?

最佳解决思路

为了拟合y = A + B log x,只需要将y代入(log x)。

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

为了拟合y = AeBx,取双方的对数给出logy = logA + Bx。所以适合(logy)对x。

请注意,拟合(log y)好像是线性的,会强调y的小值,导致大y的偏差较大。这是因为polyfit(线性回归)通过最小化Σi(ΔY)2 =Σi(Yi-Ŷi)2来工作。当Yi = log yi时,残差ΔYi=Δ(log yi)≈Δyi/| yi |。所以即使polyfit对于大y做出了一个非常糟糕的决定,"divide-by-|y|"因子也会补偿它,导致polyfit偏好较小的值。

这可以通过给每个条目一个与y成比例的"weight"来减轻。 polyfit通过w关键字参数支持weighted-least-squares。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

请注意,Excel,LibreOffice和大多数科学计算器通常使用指数回归/趋势线的未加权(有偏)公式。如果您希望您的结果与这些平台兼容,即使提供了更好的结果,也不要包含权重。


现在,如果有scipy,你可以使用scipy.optimize.curve_fit来适应没有转换的任何模型。

对于y = A + B log x,结果与转换方法相同:

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

对于y = AeBx,我们可以更好地拟合,因为它直接计算Δ(log y)。但是我们需要提供初始化猜测,以便curve_fit可以达到所需的最小值。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

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次佳解决思路

您也可以使用来自scipy.optimizecurve_fit来拟合一组数据。例如,如果你想拟合一个指数函数(来自documentation):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

然后如果你想要绘制图像(plot),你可以这样做:

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

(注意:当你绘图的时候,*之前的*会将这些条件扩展到func所期望的a,b和c中。)

第三种解决思路

我在这方面遇到了一些麻烦,所以让我说得更细致清楚一些,以便像我这样的新手可以理解。

比方说,我们有一个数据文件或类似的东西

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

结果是:a = 0.849195983017,b = -1.18101681765,c = 2.24061176543,d = 0.816643894816

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参考资料

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