我有一組數據，我想比較哪一種曲線可以最好地描述它(不同階的多項式，指數或對數)。
我使用Python和Numpy，多項式擬合有一個函數polyfit()。但是我沒有發現這樣的指數和對數擬合函數。
有沒有？或者如何解決呢？
最佳解決思路
為了擬合y = A + B log x，隻需要將y代入(log x)。
>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607, 6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62
為了擬合y = AeBx，取雙方的對數給出logy = logA + Bx。所以適合(logy)對x。
請注意，擬合(log y)好像是線性的，會強調y的小值，導致大y的偏差較大。這是因為polyfit(線性回歸)通過最小化Σi(ΔY)2 =Σi(Yi-Ŷi)2來工作。當Yi = log yi時，殘差ΔYi=Δ(log yi)≈Δyi/| yi |。所以即使polyfit對於大y做出了一個非常糟糕的決定，”divide-by-|y|”因子也會補償它，導致polyfit偏好較小的值。
這可以通過給每個條目一個與y成比例的”weight”來減輕。 polyfit通過w關鍵字參數支持weighted-least-squares。
>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
# y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446, 1.41648096])
# y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)
請注意，Excel，LibreOffice和大多數科學計算器通常使用指數回歸/趨勢線的未加權(有偏)公式。如果您希望您的結果與這些平台兼容，即使提供了更好的結果，也不要包含權重。
現在，如果有scipy，你可以使用scipy.optimize.curve_fit來適應沒有轉換的任何模型。
對於y = A + B log x，結果與轉換方法相同：
>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t), x, y)
(array([ 6.61867467, 8.46295606]),
array([[ 28.15948002, -7.89609542],
[ -7.89609542, 2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)
對於y = AeBx，我們可以更好地擬合，因為它直接計算Δ(log y)。但是我們需要提供初始化猜測，以便curve_fit可以達到所需的最小值。
>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t), x, y)
(array([ 5.60728326e-21, 9.99993501e-01]),
array([[ 4.14809412e-27, -1.45078961e-08],
[ -1.45078961e-08, 5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t), x, y, p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249, 0.05531256]),
array([[ 1.01261314e+01, -4.31940132e-02],
[ -4.31940132e-02, 1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.
次佳解決思路
您也可以使用來自scipy.optimize的curve_fit來擬合一組數據。例如，如果你想擬合一個指數函數(來自documentation)：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
def func(x, a, b, c):
return a * np.exp(-b * x) + c
x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))
popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)
然後如果你想要繪製圖像（plot），你可以這樣做：
plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()
(注意：當你繪圖的時候，*之前的*會將這些條件擴展到func所期望的a，b和c中。)
第三種解決思路
我在這方麵遇到了一些麻煩，所以讓我說得更細致清楚一些，以便像我這樣的新手可以理解。
比方說，我們有一個數據文件或類似的東西
# -*- coding: utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym
"""
Generate some data, let's imagine that you already have this.
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)
"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")
"""
brutal force to avoid errors
"""
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work
"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you.
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d
"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)
"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])
"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)
"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""
plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve")
plt.legend(loc='upper left')
plt.show()
結果是：a = 0.849195983017，b = -1.18101681765，c = 2.24061176543，d = 0.816643894816
