Python PyTorch eigh用法及代碼示例

本文簡要介紹python語言中 torch.linalg.eigh 的用法。

用法:

torch.linalg.eigh(A, UPLO='L', *, out=None)

參數：

• A(Tensor) -形狀為 (*, n, n) 的張量，其中 * 是零個或多個由對稱或 Hermitian 矩陣組成的批次維度。

• UPLO('L','U',可選的) -控製在計算中是使用A 的上三角部分還是下三角部分。默認值：‘L’。

關鍵字參數：

out(tuple,可選的) -兩個張量的輸出元組。如果 None 則忽略。默認值：None。

返回：

一個命名元組(eigenvalues, eigenvectors)，對應於上麵的\Lambda和Q。

eigenvalues 將始終為實值，即使 A 很複雜。它也將按升序排列。

eigenvectors 將具有與 A 相同的 dtype，並將包含特征向量作為其列。

計算複數 Hermitian 或實對稱矩陣的特征值分解。

讓\mathbb{K}是\mathbb{R}或者\mathbb{C}， 這特征值分解複 Hermitian 或實對稱矩陣的A \in \mathbb{K}^{n \times n}定義為

A = Q \operatorname{diag}(\Lambda) Q^{\text{H}}\mathrlap{\qquad Q \in \mathbb{K}^{n \times n}, \Lambda \in \mathbb{R}^n}

其中Q^{\text{H}}是Q複數時的共軛轉置，Q是實值時的轉置。 Q 在真實情況下是正交的，在複雜情況下是單一的。

支持 float、double、cfloat 和 cdouble dtypes 的輸入。還支持批量矩陣，如果 A 是批量矩陣，則輸出具有相同的批量維度。

A 被假定為 Hermitian (resp. 對稱)，但內部並未對此進行檢查，而是：

• 如果UPLO = ‘L’(默認)，則僅在計算中使用矩陣的下三角部分。

• 如果 UPLO = ‘U’ ，則僅使用矩陣的上三角部分。

特征值按升序返回。

注意

當輸入在 CUDA 設備上時，此函數將該設備與 CPU 同步。

注意

實對稱或複 Hermitian 矩陣的特征值總是實數。

警告

對稱矩陣的特征向量不是唯一的，也不是關於 A 的連續。由於缺乏唯一性，不同的硬件和軟件可能會計算不同的特征向量。

這種非唯一性是由於在真實情況下將特征向量乘以 -1 或在複雜情況下乘以 e^{i \phi}, \phi \in \mathbb{R} 會產生矩陣的另一組有效特征向量。當矩陣具有重複的特征值時，這種非唯一性問題會更加嚴重。在這種情況下，可以將跨越子空間的相關特征向量乘以旋轉矩陣，得到的特征向量將是有效的特征向量。

警告

僅當 A 具有唯一特征值時，使用 eigenvectors 張量計算的梯度才是有限的。此外，如果任何兩個特征值之間的距離接近於零，則梯度將在數值上不穩定，因為它取決於通過 \frac{1}{\min_{i \neq j} \lambda_i - \lambda_j} 的計算得到的特征值 \lambda_i。

例子：：

>>> A = torch.randn(2, 2, dtype=torch.complex128)
>>> A = A + A.T.conj()  # creates a Hermitian matrix
>>> A
tensor([[2.9228+0.0000j, 0.2029-0.0862j],
        [0.2029+0.0862j, 0.3464+0.0000j]], dtype=torch.complex128)
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> L
tensor([0.3277, 2.9415], dtype=torch.float64)
>>> Q
tensor([[-0.0846+-0.0000j, -0.9964+0.0000j],
        [ 0.9170+0.3898j, -0.0779-0.0331j]], dtype=torch.complex128)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag(L.cdouble()) @ Q.T.conj(), A)
tensor(6.1062e-16, dtype=torch.float64)

>>> A = torch.randn(3, 2, 2, dtype=torch.float64)
>>> A = A + A.transpose(-2, -1)  # creates a batch of symmetric matrices
>>> L, Q = torch.linalg.eigh(A)
>>> torch.dist(Q @ torch.diag_embed(L) @ Q.transpose(-2, -1).conj(), A)
tensor(1.5423e-15, dtype=torch.float64)