摘要：本文簡要介紹了采用貪心策略的最小生成的生成算法——Prim算法。文中首先給出了一個易於理解
的O(N^3)的實現，然後給出了優化後的O（N^2)實現，也就是許多算法書上的Prim算法實現了。
關鍵字：最小生成樹，Prim算法，貪心，普裏姆
在無向帶權連通圖G中，如果一個連通子樹包含所有頂點，並且連接這些頂點的邊權之和最小，
那麽這個連通子圖就是G的最小生成樹。求最小生成樹的一個常見算法是Prim算法，該算法的基本思想
是：1）設置兩個集合V和S，任意選擇一個頂點作為起始頂點，將起始頂點放入集合S，其餘頂點存入集合
V中；2）然後使用貪心策略，選擇一條長度最短並且端點分別在S和V中邊（即為最小生成樹的中的一條
邊），將這條邊在V中的端點加入到集合S中；3）循環執行第2）步直到S中包含了所有頂點。
根據以上思想我們很快可以給出一個O（N^3)的算法，即選擇一條最短邊需要O（N^2)的時間複雜度，
具體實現代碼如下：
// O(N^3)
#include
using namespace std;
//用鄰接矩陣表示無向圖
#define N 6 //節點個數
#define M 100000//最大值，表示不可達
int matrix[N][N]=
{
M,6,1,5,M,M,
6,M,5,M,3,M,
1,5,M,5,6,4,
5,M,5,M,M,2,
M,3,6,M,M,6,
M,M,4,2,6,M
};
void prim()
{
bool flag[N]; //標記某個點是否當前生成樹集合中
int i,j;
//初始化集合
for(i = 0; i < N; ++i) flag[i] = false;
flag[0] = true;
int count = 1;
while(count++ < N)
{
int min = M;
int e1 = -1, e2 = -1;
for(i = 0; i < N; ++i)
{
if(flag[i])
{
for(j = 0; j < N; ++j)
{
if(!flag[j])
{
if(matrix[i][j] < min)
{
min = matrix[i][j];
e1 = i;
e2 = j;
}
}
}
}
}
cout << e1 + 1 << "-" << e2 + 1<<" "<< matrix[e1][e2] << endl;
flag[e2] = true;
}
}
int main(int argc, char* *argv)
{
prim();
system("pause");
return 0;
}
上麵的算法有三個循環，時間複雜度為O（N^3)，考慮到由於使用的是貪心策略，則每添加一個新
頂點到集合S中的時候，才會改變V中每個點到S中點的最小邊的長度。因此可以用一個數組nearest[N](N為
頂點個數）記錄在生成最小數的過程中，記錄V中每個點的到S中點的最小變長，用另外一個數組
adjecent[N]記錄使得該邊最小的對應的鄰接點。那麽O（N）的時間了找到最短的邊，並且能在O（N)的
時間裏更新nearest[N]和adjecent[N]。因此可以得到O(N^2)的算法。源碼實現如下：
//O(N^2)
#include
using namespace std;
//用鄰接矩陣表示無向圖
#define N 6 //節點個數
#define M 100000//最大值，表示不可達
int matrix[N][N]=
{
M,6,1,5,M,M,
6,M,5,M,3,M,
1,5,M,5,6,4,
5,M,5,M,M,2,
M,3,6,M,M,6,
M,M,4,2,6,M
};
void prim()
{
//記當前生成樹的節點集合為S
//未使用的節點結合為V
bool flag[N]; //標記某個點是否在S中
int nearest[N]; //記錄V中每個點到S中鄰接點的最短邊
int adjecent[N];//記錄與V中每個點最鄰接近的點
int i,j,min;
//初始化集合
for(i = 0; i < N; ++i) flag[i] = false;
flag[0] = true;
for(i = 1; i < N; ++i)
{
nearest[i] = matrix[0][i];
adjecent[i] = 0;
}
int count = N;
while(--count)
{
min = M;
j = 0;
for(i = 0; i < N; ++i)
{
if(!flag[i] && nearest[i] < min)
{
min = nearest[i];
j = i;
}
}
cout << j + 1 << "-" << adjecent[j] + 1 << " " << matrix[j][adjecent[j]] << endl;
flag[j] = true;
for(i = 0; i < N; ++i)
{
if(!flag[i] && matrix[i][j] < nearest[i])
{
nearest[i] = matrix[i][j];
adjecent[i] = j;
}
}
}
}
int main(int argc, char* *argv)
{
prim();
system("pause");
return 0;
}
注：文中代碼在VC++ 6.0編譯器中測試通過。
參考資料：計算機算法分析與設計(第三版)